定義
在工程實際問題的優化設計中，所列的目标函數往往很複雜，為了使問題簡化，常常将目标函數在某點鄰域展開成泰勒多項式來逼近原函數。
二元函數的黑塞矩陣
由高等數學知識可知，若一元函數 在 點的某個鄰域内具有任意階導數，則 在 點處的泰勒展開式為： ，其中 ， 。
二元函數 在 點處的泰勒展開式為：
其中，
将上述展開式寫成矩陣形式，則有：
即：
其中：
是 在 點處的黑塞矩陣。它是由函數 在 點處的二階偏導數所組成的方陣。
多元函數的黑塞矩陣
将二元函數的泰勒展開式推廣到多元函數，則 在 點處的泰勒展開式的矩陣形式為：
其中：
,它是 在 點處的梯度。
黑塞矩陣是由目标函數 在點處的二階偏導數組成的 階對稱矩陣。
對稱性
如果函數 在 區域内二階連續可導，那麼 黑塞矩陣 在 内為對稱矩陣。
原因：如果函數 的二階偏導數連續，則二階偏導數的求導順序沒有區别，即
則對于矩陣 ，有 ，所以 為對稱矩陣。
應用
定理
設n多元實函數 在點 的鄰域内有二階連續偏導
并且
則有如下結果：
（1）當A正定矩陣時， 在 處是極小值；
（2）當A負定矩陣時， 在 處是極大值；
（3）當A不定矩陣時， 不是極值點。
（4）當A為半正定矩陣或半負定矩陣時， 是“可疑”極值點，尚需要利用其他方法來判定。
實例
求三元函數的極值。
解：因為，,故該三元函數的駐點是.
又因為,,,,,
故有：
因為A是正定矩陣，故是極小值點，且極小值
