定義
邊界元法是在有限元法之後發展起來的一種較精确有效的方法。又稱邊界積分方程-邊界元法。它以定義在邊界上的邊界積分方程為控制方程，通過對邊界分元插值離散，化為代數方程組求解。它與基于偏微分方程的區域解法相比，由于降低了問題的維數，而顯著降低了自由度數，邊界的離散也比區域的離散方便得多，可用較簡單的單元準确地模拟邊界形狀，最終得到階數較低的線性代數方程組。又由于它利用微分算子的解析的基本解作為邊界積分方程的核函數，而具有解析與數值相結合的特點，通常具有較高的精度。特别是對于邊界變量變化梯度較大的問題，如應力集中問題，或邊界變量出現奇異性的裂紋問題，邊界元法被公認為比有限元法更加精确高效。由于邊界元法所利用的微分算子基本解能自動滿足無限遠處的條件，因而邊界元法特别便于處理無限域以及半無限域問題。邊界元法的主要缺點是它的應用範圍以存在相應微分算子的基本解為前提，對于非均勻介質等問題難以應用，故其适用範圍遠不如有限元法廣泛，而且通常由它建立的求解代數方程組的系數陣是非對稱滿陣，對解題規模産生較大限制。對一般的非線性問題，由于在方程中會出現域内積分項，從而部分抵消了邊界元法隻要離散邊界的優點。
基礎
邊界元法是基于控制微分方程的基本解來建立相應的邊界積分方程，再結合邊界的剖分而得到的離散算式。
Jaswon和Symm于1963年用間接邊界元法求解了位勢問題；Rizzo于1967年用直接邊界元法求解了二維線彈性問題；Cruse于1969年将此法推廣到三維彈性力學問題。1978年，Brebbia用加權餘量法推導出了邊界積分方程，他指出加權餘量法是最普遍的數值方法，如果以Kelvin解作為加權函數，從加權餘量法中導出的将是邊界積分方程——邊界元法，從而初步形成了邊界元法的理論體系，标志着邊界元法進入系統性研究時期。
發展
經過近40年的研究和發展，邊界元法已經成為一種精确高效的工程數值分析方法。在數學方面，不僅在一定程度上克服了由于積分奇異性造成的困難，同時又對收斂性、誤差分析以及各種不同的邊界元法形式進行了統一的數學分析，為邊界元法的可行性和可靠性提供了理論基礎。在方法與應用方面，邊界元法已應用到工程和科學的很多領域，對線性問題，邊界元法的應用已經規範化；對非線性問題，其方法亦趨于成熟。在軟件應用方面，邊界元法應用軟件已由原來的解決單一問題的計算程序向具有前後處理功能、可以解決多種問題的邊界元法程序包發展。
我國約在1978年開始進行邊界元法的研究，我國的學者在求解各種問題的邊界元法的研究方面做了很多的工作，并且發展了相應的計算軟件，有些已經應用于工程實際問題，并收到了良好的效果。
應用
《邊界元法》是在有限元法之後發展起來的一種精确高效的工程分析數值方法。經過近五十年的發展，它不僅在固體與結構分析領域成為有限元法最重要的一種補充，而且在微機電系統電磁場分析和大型結構電磁波散射分析等領域也得到廣泛應用。
第八、第九章介紹快速多極邊界元法和大規模快速多極邊界元并行算法，第十二章介紹與邊界積分方程相關的邊界型無網格法。另外在第十、第十一兩章簡要介紹國際上邊界元法比較成功的應用，包括在機械、結構工程中的應用，和聲場、電磁場分析設計中的應用。
影響及意義
《邊界元法》分為傳統邊界元法的基本内容和近年發展的快速多極邊界元法等新進展兩大部分。前七章包含了傳統邊界元法的基本内容，分為三個單元：前三章為數學力學基礎部分，介紹各種問題邊界積分方程的建立；第四、第五章為基本數值方法部分，包括分元離散，數值積分和方程求解，并結合二維問題介紹其程序實現；第六、第七章為幾類應用專題，主要是含時間問題、幾種非線性問題和反問題。
