進制轉換本質
我們使用短除法将十進制轉換成二進制。
“數制”隻是一套符号系統來表示指稱“量”的多少。我們用“1”這個符号來表示一個這一“量”的概念。自然界的“量”是無窮的，我們不可能為每一個“量”都造一個符号，這樣的系統沒人記得住。所以必須用有限的符号按一定的規律進行排列組合來表示這無限的“量”。符号是有限的，這些符号按照某種規則進行排列組合的個數是無限的。十進制是10個符号的排列組合，二進制是2個符号的排列組合。
在進行進制轉換時有一基本原則：轉換後表達的“量”的多少不能發生改變。二進制中的111個蘋果和十進制中的7個蘋果是一樣多的。
十進制中的數位排列是這樣的…… 萬 千 百 十 個 十分 百分 千分……
R進制中的數位排列是這樣的……R^4 R^3R^2 R^1 R^0 R^-1 R^-2 R^-3……
可以看出相鄰的數位間相差進制的一次方。
以下部分來源：知乎網友
進制這事兒，說到底就是位值原理，即：同一個數字，放在不同的數位上，代表不同大小的“量”。例如：十進制中，百位上的1表示100，十位上的1表示10。
任何進制中，每個數都可以按位權展開成各個數位上的數字乘以對應數位的位權，再相加的形式，如：
十進制的123=1×100+2×10+3×1
十進制的9876=9×1000+8×100+7×10+6×1
問：為啥相應的數位是1000、100、10、1？為啥不是4、3、2、1？
答：十進制，滿十進一，再滿十再進一，因此要想進到第三位，得有10×10；第4位得有10×10×10
這樣我們就知道了：
對10進制，從低位到高位，依次要乘以10^0，10^1,10^2,10^3……，也就是1、10、100、1000
對2進制，從低位到高位，依次要乘以2^0，2^1,2^2,2^3……，也就是1、2、4、8、……
下面我們開始轉換進制（以十進制換成二進制為例）：
原來十進制咱們的數位叫 千位、百位、十位……
現在二進制數位變成了八位、四位、二位……
模仿上面十進制按位權展開的方式，把二進制數1011按權展開： 1011=1×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0=1×8+0×4+1×2+1×1=8+2+1=11
接下來我們進行十進制往二進制的轉換：
比較小的數，直接通過拆分就可以轉換回去
比如13，我們把數位擺好八位、四位、二位，不能寫十六了，因為一旦“十六”那個數位上的符号是“1”，那就表示有1個16，即便後面數位上的符号全部是“0”，把這個二進制數按權位展開後，在按照十進制的運算規律計算，得到的數也大于13了。那最多就隻能包含“八”這個數位。 13-8=5，5當中有4，5-4=1
好啦，我們知道13=1*8+1*4+0*2+1*1 把“1”、“1”、“0”“1”這幾個符号放到數位上去：
八位、四位、二位、一位
1 1 0 1
于是十進制數13=二進制數1101
現在你按照書上說的短除法來試試，會發現它和你湊數得到的結果剛好是一樣的，為什麼短除法可以實現進制的轉換呢？為什麼每次要除以進制呢？為什麼要把餘數倒着排列呢？
想要知道其中的道理的話，請仔細品味以下的遞歸原理（不知道遞歸沒關系）：
（1）一個十進制數321的末尾是1，意味着一定是……+1，省略号部分一定是10的倍數，所以一個十進制數末尾是1意味着十進制數除以進制10一定餘1。所以第一次除以10之後的餘數，應該放在十進制的最後一個數位“個位”，也就是說個位上的符号是1。
類比，一個二進制數111（注意，數值不等于上面十進制的111）末尾是1，意味着一定是……+1，前面的省略号部分都是2的倍數。所以一個二進制數末尾是1，意味着它對應的十進制數除以進制2一定餘1。所以第一次除以2之後的餘數，應該放在二進制的最後一個數位“一位”，也就是說一位上的符号是1。
（2）如果一個十進制數321“十位”是2，我們希望把它轉換為（1）的情況。那麼我們把這個十進制數的末尾抹掉，也就是減去“個位”上的1，再除以進制10，得到32。這樣原來“十位”上的“2”就掉到了“個位”上。再把32做（1）的處理。
類比，如果一個二進制數111“二位”是1，我們希望把它轉換為（1）的情況，那麼我們把這個二進制數的末尾抹掉，也就是減去“一位”上的1，再除以進制2，得到11。這樣原來“二位”上的“1”就掉到了“一位”上。再把11做（1）的處理。
總結：其實這個過程就是把各個數位上的符号求出來的過程。
現在你應該可以回答以下問題了：為什麼短除法可以實現進制的轉換呢？為什麼每次要除以進制呢？為什麼要把餘數倒着排列呢？
R進制轉換成十進制就是按權位展開，把展開式放到十進制下，再按照“十進制”的運算規律計算。因為是十進制，所以就允許使用2、3、4、5、6、7、8、9了。所以2的n次方就不用寫成指數，而可以用另外的八個符号來表示了。
十進制--->二進制
對于整數部分，用被除數反複除以2，除第一次外，每次除以2均取前一次商的整數部分作被除數并依次記下每次的餘數。另外，所得到的商的最後一位餘數是所求二進制數的最高位。
對于小數部分，采用連續乘以基數2，并依次取出的整數部分，直至結果的小數部分為0為止。故該法稱“乘基取整法”。
給你一個十進制，比如：6，如果将它轉換成二進制數呢？
10進制數轉換成二進制數，這是一個連續除以2的過程：
把要轉換的數，除以2，得到商和餘數，
将商繼續除以2，直到商為0。最後将所有餘數倒序排列，得到數就是轉換結果。
聽起來有些糊塗？結合例子來說明。比如要轉換6為二進制數。
“把要轉換的數，除以2，得到商和餘數”。
那麼：要轉換的數是6， 6 ÷ 2，得到商是3，餘數是0。
“将商繼續除以2,直到商為0……”
現在商是3，還不是0，所以繼續除以2。
那就： 3 ÷ 2, 得到商是1,餘數是1。
“将商繼續除以2，直到商為0……”
現在商是1，還不是0，所以繼續除以2。
那就： 1 ÷ 2, 得到商是0，餘數是1
“将商繼續除以2，直到商為0……最後将所有餘數倒序排列”
好極！現在商已經是0。
我們三次計算依次得到餘數分别是：0、1、1，将所有餘數倒序排列，那就是：110了！
6轉換成二進制，結果是110。
把上面的一段改成用表格來表示，則為：
（在計算機中，÷用 / 來表示）
二進制--->十進制
二進制數轉換為十進制數
二進制數第0位的權值是2的0次方，第1位的權值是2的1次方……
所以，設有一個二進制數：0110 0100，轉換為10進制為：
下面是豎式：
0110 0100 換算成十進制
從右往左開始換算
第0位 0 * 20 = 0
第1位 0 * 21 = 0
第2位 1 * 22 = 4
第3位 0 * 23 = 0
第4位 0 * 24 = 0
第5位 1 * 25 = 32
第6位 1 * 26 = 64
第7位 0 * 27 = 0
公式：第N位2(N)
---------------------------
100
用橫式計算為：
0 * 20 + 0 * 21 + 1 * 22 + 0 * 23 + 0 * 24 + 1 * 25 + 1* 26 + 0 * 27 = 100
除0以外的數字0次方都是1，但0乘以多少都是0，所以我們也可以直接跳過值為0的位：
1 * 22 + 1 * 25 +1*26 = 100
十進制--->八進制
10進制數轉換成8進制的方法，和轉換為2進制的方法類似，唯一變化：除數由2變成8。
來看一個例子，如何将十進制數120轉換成八進制數。
用表格表示：
120轉換為8進制，結果為：170。
八進制--->十進制
八進制就是逢8進1。
八進制數采用 0～7這八數來表達一個數。
八進制數第0位的權值為8的0次方，第1位權值為8的1次方，第2位權值為8的2次方……
所以，設有一個八進制數：1507，轉換為十進制為：
用豎式表示：
1507換算成十進制。
第0位 7 * 80 = 7
第1位 0 * 81 = 0
第2位 5 * 82 = 320
第3位 1 * 83 = 512
--------------------------
839
同樣，我們也可以用橫式直接計算：
7 * 80 + 0 * 81 + 5 * 82 + 1 * 83 = 839
結果是，八進制數 1507 轉換成十進制數為 839
十進制--->十六進制
10進制數轉換成16進制的方法，和轉換為2進制的方法類似，唯一變化：除數由2變成16。
同樣是120，轉換成16進制則為：
120轉換為16進制，結果為：78。
十六進制--->十進制
16進制就是逢16進1，但我們隻有0~9這十個數字，所以我們用A，B，C，D，E，F這六個字母來分别表示10，11，12，13，14，15。字母不區分大小寫。
十六進制數的第0位的權值為16的0次方，第1位的權值為16的1次方，第2位的權值為16的2次方……
所以，在第N（N從0開始）位上，如果是是數 X （X 大于等于0，并且X小于等于 15，即：F）表示的大小為 X * 16的N次方。
假設有一個十六進數 2AF5, 那麼如何換算成10進制呢？
用豎式計算：
2AF5換算成10進制:
第0位： 5 * 160 = 5
第1位： F * 161 = 240
第2位： A * 162 = 2560
第3位： 2 * 163 = 8192
-------------------------------------
10997
直接計算就是：
5 * 160 + F * 161 + A * 162 + 2 * 163 = 10997
(别忘了，在上面的計算中，A表示10，而F表示15)
現在可以看出，所有進制換算成10進制，關鍵在于各自的權值不同。
假設有人問你，十進數 1234 為什麼是 一千二百三十四？你可以給他這麼一個算式：
1234 = 1 * 103 + 2 * 102 + 3 * 101 + 4 * 100
二進制--->八進制
（11001.101）（二）
整數部分：從後往前每三位一組，缺位處用0填補，然後按十進制方法進行轉化， 則有：
001=1
011=3
然後我們将結果按從下往上的順序書寫就是：31，那麼這個31就是二進制11001的八進制形式
八進制--->二進制
（31.5）（八）
整數部分：從後往前每一位按十進制轉化方式轉化為三位二進制數，缺位處用0補充 則有：
1---->1---->001
3---->11
然後我們将結果按從下往上的順序書寫就是：11001，那麼這個11001就是八進制31的二進制形式
二進制--->十六進制
二進制和十六進制的互相轉換比較重要。不過這二者的轉換卻不用計算，每個C，C++程序員都能做到看見二進制數，直接就能轉換為十六進制數，反之亦然。
我們也一樣，隻要學完這一小節，就能做到。
首先我們來看一個二進制數：1111，它是多少呢？
你可能還要這樣計算：1 * 20 + 1 * 21 + 1 * 22 + 1 * 23 = 1 * 1 + 1 * 2 + 1 * 4 + 1 * 8 = 15。
然而，由于1111才4位，所以我們必須直接記住它每一位的權值，并且是從高位往低位記，：8、4、2、1。即，最高位的權值為23 = 8，然後依次是 22 = 4，21=2， 20 = 1。
記住8421，對于任意一個4位的二進制數，我們都可以很快算出它對應的10進制值。
下面列出四位二進制數xxxx 所有可能的值（中間略過部分）
二進制數要轉換為十六進制，就是以4位一段，分别轉換為十六進制。
如：
十六進制--->二進制
反過來，當我們看到 FD時，如何迅速将它轉換為二進制數呢？
先轉換F：
看到F，我們需知道它是15（可能你還不熟悉A～F這六個數），然後15如何用8421湊呢？應該是8 + 4 + 2 + 1，所以四位全為1 ：1111。
接着轉換 D：
看到D，知道它是13，13如何用8421湊呢？應該是：8 + 4 + 1,即：1101。
所以,FD轉換為二進制數，為： 1111 1101
由于十六進制轉換成二進制相當直接，所以，我們需要将一個十進制數轉換成2進制數時，也可以先轉換成16進制，然後再轉換成2進制。
比如，十進制數 1234轉換成二制數，如果要一直除以2，直接得到2進制數，需要計算較多次數。所以我們可以先除以16，得到16進制數:
結果16進制為： 0x4D2
然後我們可直接寫出0x4D2的二進制形式： 0100 1101 0010。
其中對映關系為：
0100 -- 4
1101 -- D
0010 -- 2
同樣，如果一個二進制數很長，我們需要将它轉換成10進制數時，除了前面學過的方法是，我們還可以先将這個二進制轉換成16進制，然後再轉換為10進制。
下面舉例一個int類型的二進制數：
01101101 11100101 10101111 00011011
我們按四位一組轉換為16進制： 6D E5 AF 1B
再轉換為10進制：6*167+D*166+E*165+5*164+A*163+F*162+1*161+B*160=1,843,769,115
十進制--->負進制
下面是将十進制數轉換為負R進制的公式：
N=(dmdm-1...d1d0)-R
=dm*(-R)m+dm-1*(-R)m-1+...+d1*(-R)1+d0*(-R)0
15=1*(-2)4+0*(-2)3+0*(-2)2+1*(-2)1+1*(-2)0
=10011(-2)
負數
負數的進制轉換稍微有些不同。
先把負數寫為其補碼形式（在此不議），然後再根據二進制轉換其它進制的方法進行。
例：要求把-9轉換為八進制形式。則有：
-9的補碼為1111 1111 1111 0111。從後往前三位一劃，不足三位的加0
111---->7
110---->6
111---->7
111---->7
111---->7
001---->1
然後我們将結果按從下往上的順序書寫就是：177767，那麼177767就是十進制數-9的八進制形式。
其實轉化成任意進制都是一樣的。
初學者最容易犯的錯誤！！！！！！！
犯錯：（-617）D=（-1151）O=（-269）H
原因分析：如果是正數的話，上面的思路是正确的，但是由于正數和負數在原碼、反碼、補碼轉換上的差别，所以按照正數的求解思路去對負數進行求解是不對的。
正确的方法是：首先将-617用補碼表示出來，然後再轉換成八進制和十六進制（補碼）即可。
注：二進制補碼要用16位。
正确答案：：（-617）D=（176627）O=（fd97）H
負數十進制轉換成八進制或十六進制方法
如（-12）10=（ ）8=（ ）16
第一步：轉換成二進制
1000 0000 0000 1100
第二步：補碼，取反加一
注意：取反時符号位不變！
1111 1111 1111 0100
第三步：轉換成八進制是三位一結合：177764（8）
轉換成十六進制是四位一結合：fff4（16）
小數
最近有些朋友提了這樣的問題“0.8的十六進制是多少？”
0.8、0.6、0.2... ...一些數字在進制之間的轉化過程中确實存在麻煩。
就比如“0.8的十六進制”吧！
無論怎麼乘以16，它的餘數總也乘不盡，總是餘0.8
具體方法如下：
0.8*16=12.8
0.8*16=12.8
取每一個結果的整數部分為12既十六進制的C
如果題中要求精确到小數點後3位那結果就是0.CCC
如果題中要求精确到小數點後4位那結果就是0.CCCC
現在OK了。
下面簡單解釋一下原理：
原理其實很簡單，跟整數一樣，R進制的小數位分别為R^-1 R^-2 R^-3……
接着，短除法就相當于每次除以R^-1，根據負指數幂有關知識，除以R^-1相當于乘R，這就是該方法的原理。
C++
十進制轉k進制#include
int main()
{
char a;
int y=0,k,n,x;
char z='A';
scanf("%d%d",&n,&x);
while(n!=0)
{
y++;
a[y]=n%x;
n=n/x;
if(a[y]>9) a[y]+=z-10;
else a[y]+='0';
}
for(int i=y;i>0;i--)
printf("%c",a[i]);
return 0;
}
m進制轉10進制
注：用C語言的格式化輸入輸出可以快速轉換10進制，8進制和16進制。例子：10進制轉16進制：
C語言代碼
Java代碼
Java代碼實現十進制分别轉換為十六，二，八進制。
核心思想就是餘數定理。
