自然數:表示事物次序的數-中文百科頻道

數學術語

而自然數隻是等于0或比0大的整數（也就是0和正整數），所以自然數有無數個，通常用n表示。

【拼音】zìránshù

【英譯】naturalnumber；wholenumber

即指：全體非負整數組成的集合常用N來表示

基本概念

自然數，表示物體個數的數0、1、2、3、4、5、6、……叫自然數，簡單說就是大于等于零的整數。

自然數的個數是無限的。

基本特點

用以計量事物的件數或表示事物次序的數。即用數碼0，1，2，3，4，……所表示的數。自然數由0開始，一個接一個，組成一個無窮集合。自然數集有加法和乘法運算，兩個自然數相加或相乘的結果仍為自然數，也可以作減法或除法，但相減和相除的結果未必都是自然數，所以減法和除法運算在自然數集中并不是總能成立的。自然數是人們認識的所有數中最基本的一類。為了使數的系統有嚴密的邏輯基礎，19世紀的數學家建立了自然數的兩種等價的理論：自然數的序數理論和基數理論，使自然數的概念、運算和有關性質得到嚴格的論述。

基本定義

序數理論是意大利數學家G.皮亞諾提出來的。他總結了自然數的性質，用公理法給出自然數的如下定義：

自然數集N是指滿足以下條件的集合：

①N中有一個元素，記作1。

②N中每一個元素都能在N中找到一個元素作為它的後繼者。

③1不是任何元素的後繼者。

④不同元素有不同的後繼者。

⑤(歸納公理)N的任一子集M，如果1∈M，并且隻要x在M中就能推出x的後繼者也在M中，那麼M=N。

自然數，即1、2、3、4……或0、1、2、3、4……其中，0是否為自然數目前沒有定論。

從曆史上看，國内外數學界對于0是不是自然數曆來有兩種觀點：一種認為0是自然數，另一種認為0不是自然數。建國以來，我國的中小學教材一直規定自然數不包括0。目前，國外的數學界大部分都規定0是自然數。為了方便于國際交流，1993年頒布的《中華人民共和國國家标準》（GB3100-3102-93）《量和單位》（11-2.9）第311頁，規定自然數包括0。所以在近幾年進行的中小學數學教材修訂中，教材研究編寫人員根據上述國家标準進行了修改。即一個物體也沒有，用0表示。0也是自然數。“0”是否包括在自然數之内存在争議，有人認為自然數為正整數，即從1開始算起；而也有人認為自然數為非負整數，即從0開始算起。目前關于這個問題尚無一緻意見。不過，在數論中，多采用前者；在集合論中，則多采用後者。目前中小學教材中規定0為自然數。

一般概念

自然數是一切等價有限集合共同特征的标記。

注：自然數就是我們常說的正整數和0。整數包括自然數，所以自然數一定是整數，且一定是非負整數。

但相減和相除的結果未必都是自然數，所以減法和除法運算在自然數集中并不總是成立的。用以計量事物的件數或表示事物次序的數。即用數碼0，1，2，3，4，……所表示的數。表示物體個數的數叫自然數，自然數由0開始(包括0)，一個接一個，組成一個無窮集體。自然數集有加法和乘法運算，兩個自然數相加或相乘的結果仍為自然數，也可以作減法或除法，但相減和相除的結果未必都是自然數，所以減法和除法運算在自然數集中并不是總能成立的。自然數是人們認識的所有數中最基本的一類，為了使數的系統有嚴密的邏輯基礎，19世紀的數學家建立了自然數的兩種等價的理論棗自然數的序數理論和基數理論，使自然數的概念、運算和有關性質得到嚴格的論述。

（序數理論是意大利數學家G.皮亞諾提出來的。他總結了自然數的性質，用公理法給出自然數的如下定義）自然數集N是指滿足以下條件的集合：

①N中有一個元素，記作1。

②N中每一個元素都能在N中找到一個元素作為它的後繼者。

③1是0的後繼者。

④0不是任何元素的後繼者。

⑤不同元素有不同的後繼者。

⑥（歸納公理）N的任一子集M，如果1∈M，并且隻要x在M中就能推出x的後繼者也在M中，那麼M=N。

基數理論則把自然數定義為有限集的基數，這種理論提出，兩個可以在元素之間建立一一對應關系的有限集具有共同的數量特征，這一特征叫做基數。這樣，所有單元素集{x}，{y}，{a}，{b}等具有同一基數，記作1。類似，凡能與兩個手指頭建立一一對應的集合，它們的基數相同，記作2，等等。自然數的加法、乘法運算可以在序數或基數理論中給出定義，并且兩種理論下的運算是一緻的。

自然數在日常生活中起了很大的作用，人們廣泛使用自然數。自然數是人類曆史上最早出現的數，自然數在計數和測量中有着廣泛的應用。人們還常常用自然數來給事物标号或排序，如城市的公共汽車路線，門牌号碼，郵政編碼等。

自然數是整數（自然數包括正整數和零），但整數不全是自然數，例如：-1-2-3……是整數而不是自然數。自然數是無限的。

全體非負整數組成的集合稱為非負整數集，即自然數集。）

在數物體的時候，數出的1.2.3.4.5.6.7.8.9……叫自然數。自然數有數量、次序兩層含義，分為基數、序數。基本單位：1計數單位：個、十、百、千、萬、十萬……

總之，自然數就是指大于等于0的整數。當然，負數、小數、分數等就不算在其内了。

分類

①按能否被2整除分

可分為奇數和偶數。

1、奇數：不能被2整除的數叫奇數。

2、偶數：能被2整除的數叫偶數。

3、特别注意：0是偶數。（2002年國際數學協會規定，零為偶數。我國2004年也規定零為偶數。偶數可以除以2，0照樣可以，隻不過，得數依然是0而已，但是不可以說它（指0）沒有縮小）。

②按因數數個數分

可分為質數、合數和1

1、質數：隻有1和它本身這兩個因數的自然數叫做質數。[質數也稱作素數]

2、合數：除了1和它本身還有其它的因數的自然數叫做合數。

3、1：隻有1個因數。它既不是質數也不是合數。[當然0不能計算因數也一樣是非質數、非合數]

注：是因數不是約數。

關于自然數列

數列1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，……n，稱為自然數列。自然數列不包括0。

自然數列的通項公式an=n。

自然數列的前n項和Sn=n(n+1)/2。Sn=na1+n(n-1)/2

自然數列本質上是一個等差數列，首項a1=1，公差d=1。

應用

1、自然數列在“數列”，有着最廣泛的運用，因為所有的數列中，各項的序号都組成自然數列。

任何數列的通項公式都可以看作：數列各項的數與它的序号之間固定的數量關系。

2、求n條射線可以組成多少個角時，應用了自然數列的前n項和公式

第1條射線和其它射線組成n-1個角，第2條射線跟餘下的其它射線組成n-2個角，依此類推得到式子

1+2+3+4+……+n-1=n(n-1)/2

3、求直線上有n個點，組成多少條線段時，也應該了自然數列的前n項和公式

第1個點和其它點組成n-1條線段，第2個點跟餘下的其它點組成n-2條線段，依此類推同樣可以得到式子

1+2+3+4+……+n-1=n(n-1)/2

争論

古希臘人最早研究數字的抽象特性，例如是古希臘哲學家畢達哥拉斯和阿基米德的研究。當中畢達哥拉斯學派更把數視為宇宙之基本。[9]有許多希臘數學家都不把1當成一個數，因而2就成了最小的數。在數學家歐幾裡得所着的《幾何原本》中也有類似說法。

19世紀末，集合論者給予了自然數幾個較嚴謹的定義。據這些定義，把零對應于空集，包括于自然數内更為方便。邏輯論者及電算機科學家，接受集合論者的定義。而其他一些數學家，主要是數論學家，則依從傳統把零拒之于自然數之外。

在全球範圍内，針對0是否屬于自然數的争論依舊存在。

在中國，2000年左右之前的中小學教材一般不将0列入自然數之内，或稱其屬于“擴大的自然數列”。在2000年左右之後的新版中小學教材中，普遍将0列入自然數。

性質

運算

對自然數可以遞歸定義加法和乘法。其中，加法運算“+”定義為：

a+0=a；

a+S(x)=S(a+x)，其中，S(x)表示x的後繼者。

如果我們将S(0)定義為符号“1”，那麼b+1=b+S(0)=S(b+0)=S(b)，即，“+1”運算可求得任意自然數的後繼者。

如此，便可得出交換幺半群(N，+)，是由1生出的自由幺半群，其中幺元為0。此幺半群服從消去律，可嵌入一群内：最小的是整數群。

同理，乘法運算“×”定義為：

a×0=0；

a×S(b)=a×b+a

(N，×)亦是交換幺半群；

×和+符合分配律：

自然數的減法和除法可以由類似加法和乘法的逆的方式定義。

帶餘除法

對于兩個自然數a，b，不一定有自然數c使得。所以若用乘法的逆來定義除法，這個除法不能成為一個二元運算（即不符合封閉性，即使不允許除以0）。但我們可以用帶餘除法作為替代。

現設a，b為自然數，，則有自然數q和r使得a=bq+r且r

一個例子是，也就是。這裡a=62，b=7，q=8，r=6。

帶餘除法在數論中有不少用途，比如說輾轉相除法的基本步驟就是帶餘除法。

序

當且僅當有自然數使得。當而a不等于b時，記作a

二元關系在自然數集上符合：

自反性：若a是自然數，則；

反對稱性：設a，b是自然數。若且，則a=b；

傳遞性：設a，b，c都是自然數。若且，則；

完全性：對于任意兩個自然數a，b，有且隻有下列兩種關系之一：或。

（或者等價的三分性：ab）

因為符合以上的四種性質，所以是一全序。

事實上，是一個良序集，即每個非空子集都有一個最小的自然數。此亦是最小數原理的陳述。

此序也和加法及乘法兼容，即若a，b，c都是自然數。

無限性

自然數集是一個無窮集合，自然數列可以無止境地寫下去。

對于無限集合來說，“元素個數”的概念已經不适用，用數個數的方法比較集合元素的多少隻适用于有限集合。為了比較兩個無限集合的元素的多少，集合論的創立者德國數學家康托爾引入了一一對應的方法。這一方法對于有限集合顯然是适用的，現推廣到無限集合，即如果兩個無限集合之間能建立一個一一對應，我們就認為這兩個集合的元素是同樣多的。對于無限集合，我們不再說它們的元素個數相同，而說這兩個集合等勢，或者說，這兩個集合的基數相同。自然數集的基數是阿列夫零，記作。

與有限集對比，無限集有一些特殊的性質，其一是它可能與自身的真子集有一一對應的關系，例如:

01234…（自然數集）

↕↕↕↕↕

13579…（奇數組成的集合）

這就是說，這兩個集合有同樣多的元素，或者說，它們是等勢的。大數學家希爾伯特曾用一個有趣的例子來說明自然數的無限性：如果一個旅館隻有有限個房間，當它的房間都住滿了時，再來一個旅客，經理就無法讓他入住了。但如果這個旅館有無數個房間，也都住滿了，經理卻仍可以安排這位旅客：他把1号房間的旅客換到2号房間，把2号房間的旅客換到3号房間，……如此繼續下去，就把1号房間騰出來了。

和自然數集等勢的集合有：

由自然數的有限序列組成的集合

整數集

有理數集

代數數集

可數個可數集合的并集

自然數集的勢嚴格小於實數集的勢，即兩者間不能建立一一對應（詳見對角論證法）。事實上，實數集的勢是，即自然數集的幂集的勢。

數列

數列0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,……n，稱為自然數列。

自然數列的通項公式an=n。

自然數列的前n項和Sn=n（n+1）/2。 Sn=na1+n（n-1）/2

自然數列本質上是一個等差數列，首項a1=1，公差d=1。

關于0

0的争議

對于“0”，它是否包括在自然數之内存在争議，有人認為自然數為正整數，即從1開始算起；而也有人認為自然數為非負整數，即從0開始算起。到21世紀關于這個問題也尚無一緻意見。

在國外，有些國家的教科書是把0也算作自然數的。這本是一種人為的規定，我國為了推行國際标準化組織（ISO）制定的國際标準，定義自然數集包含元素0，也是為了早日和國際接軌。

現行九年義務教育教科書和高級中學教科書（試驗修訂本）都把非負整數集叫做自然數集，記作N，而正整數集記作N+或N*。這就一改以往0不是自然數的說法，明确指出0也是自然數集的一個元素。0同時也是有理數，也是非負數和非正數。

0的來由

0是極為重要的數字，0的發現被稱為人類偉大的發現之一。0在我國古代叫做金元數字，（意即極為珍貴的數字）。0這個數據說是由印度人在約公元5世紀時發明，在1202年時，一個商人寫了一本算盤之書，在東方中由于數學是以運算為主（西方當時以幾何并在開頭寫了“印度人的9個數字，加上阿拉伯人發明的0符号便可以寫出所有數字……”。由于一些原因，在初引入0這個符号到西方時，曾經引起西方人的困惑，因當時西方認為所有數都是正數，而且0這個數字會使很多算式、邏輯不能成立（如除以0），甚至認為是魔鬼數字，而被禁用。直至約公元15，16世紀0和負數才逐漸給西方人所認同，才使西方數學有快速發展。　0的另一個曆史：0的發現始于印度。公元左右，印度最古老的文獻《吠陀》已有“0”這個符号的應用，當時的0在印度表示無（空）的位置。約在6世紀初，印度開始使用命位記數法。7世紀初印度大數學家葛拉夫.瑪格蒲達首先說明了0的0是0，任何數加上0或減去0得任何數。遺憾的是，他并沒有提到以命位記數法來進行計算的實例。也有的學者認為，0的概念之所以在印度産生并得以發展，是因為印度佛教中存在着“絕對無”這一哲學思想。公元733年，印度一位天文學家在訪問現伊拉克首都巴格達期間，将印度的這種記數法介紹給了阿拉伯人，因為這種方法簡便易行，不久就取代了在此之前的阿拉伯數字。這套記數法後來又傳入西歐。