結構動力學:結構力學的分支書籍-中文百科頻道

内容提要

本書是在作者多年從事結構動力學的教學及研究工作的基礎上撰寫而成。書中在介紹基本概念和基礎理論的同時，也介紹了結構動力學領域的若幹前沿研究課題。本書既注重讀者對基本知識的掌握，也注重讀者對結構振動領域研究發展方向的掌握

本書的主要内容包括運動方程的建立、單自由度體系、多自由度體系、無限自由度體系的動力學問題、随機振動、結構動力學的前沿研究課題。書中側重介紹單自由度體系和多自由度體系，重點突出。

本書可作為土木工程、機械工程、力學、航空等相關學科的本科生和研究生的教學用書，也可以作為從事結構振動、模态分析與測試等方面工作的研究人員和工程技術人員的參考用書。

發展簡況

任何結構所受的載荷都具有不同程度的動載荷性質，有不少結構主要在振動環境下工作。因此，結構動力學的内容十分豐富，涉及面很廣，其研究對象遍及土木、機械、運輸、航空和航天等工程領域，而研究方法又同材料學、數學和力學密切相關。早在18世紀後半葉，瑞士的丹尼爾第一·伯努利（見伯努利家族）首先研究了棱柱杆側向振動的微分方程。瑞士的L.歐拉求解了這個方程并建立了計算棱柱杆側向振動的固有頻率的公式。1877～1878年間，英國的瑞利發表了兩卷《聲學理論》，書中具體地讨論了諸如杆、梁、軸、闆等彈性體的振動理論，并提出了著名的瑞利方法（或稱瑞利原理）。

1908年瑞士的W.裡茲提出了一個求解變分問題的近似方法，後來被稱作瑞利－裡茲法。這個方法實際上推廣了瑞利方法，在很多學科中（包括結構動力學在内）發揮了巨大的作用。1928年，S.P.鐵木辛柯發表了《工程中的振動問題》一書，總結了彈性體振動理論及其在工程中應用的情況。近幾十年來，由于工程實踐的需要和科學探索的興趣，人們進行了大量的實驗和理論研究工作，使這門學科在實踐和理論分析上都獲得了高度的發展。結構動力學的研究内容包括實驗研究和理論分析兩個方面。

實驗研究

曆史

在18～19世紀，大量的實驗研究不僅為理論分析奠定了基礎，而且成為當時解決實際工程問題的主要手段。例如，19世紀對橋梁和路軌在移動載荷作用下的響應所作的實驗，曾對鐵路運輸工程的發展作出重要貢獻。即使在理論分析已較為完善的今天，實驗仍不可缺少。20世紀60年代,美國在研制土星V運載火箭時就不惜耗費50萬美元,制作一個1/10的動力相似模型,以測定其動力特性。至于材料和結構阻尼特性的測定、振動環境試驗等工作，則主要依靠實驗研究。

課題

結構動力學實驗中有以下幾個課題：

①材料性能的測定：包括測定動态應力-應變曲線、沖擊載荷作用下的極限強度（見材料的力學性能）、重複載荷作用下的疲勞強度（見疲勞）、材料或結構的阻尼特性等；

②結構動力相似模型的研究：包括各種情況下的動力相似條件、相似模型的設計和制作等；

③結構固有（自由）振動參量的測定：對結構或其相似模型施加一定方式的激勵，如頻率可調的簡諧力、沖擊力或随機力，然後根據響應确定結構的固有頻率、振動形态（振型）以及振型阻尼系數等參量；

④振動環境試驗：在現場或在能模拟振動環境的試驗台上對結構或其相似模型進行振動試驗，用以确定結構的工作可靠性或使用壽命；⑤其他專業性試驗。

理論分析

結構的質量是一連續的空間函數，因此結構的運動方程是一個含有空間坐标和時間的偏微分方程，隻是對某些簡單結構，這些方程才有可能直接求解。對于絕大多數實際結構，在工程分析中主要采用數值方法。作法是先把結構離散化成為一個具有有限自由度的數學模型，在确定載荷後，導出模型的運動方程，然後選用合适的方法求解。

數學模型

将結構離散化的方法主要有以下三種：

①集聚質量法：把結構的分布質量集聚于一系列離散的質點或塊，而把結構本身看作是僅具有彈性性能的無質量系統。由于僅是這些質點或塊才産生慣性力，故離散系統的運動方程隻以這些質點的位移或塊的位移和轉動作為自由度。對于大部分質量集中在若幹離散點上的結構，這種方法特别有效；

②瑞利－裡茲法（即廣義位移法）：假定結構在振動時的位形（偏離平衡位置的位移形态）可用一系列事先規定的容許位移函數fi（它們必須滿足支承處的約束條件以及結構内部位移的連續性條件）之和來表示，例如，對于一維結構，它的位形u(x)可以近似地表為：

(1)式中的qj稱為廣義坐标,它表示相應位移函數的幅值。這樣，離散系統的運動方程就以廣義坐标作為自由度。對于質量分布比較均勻，形狀規則且邊界條件易于處理的結構，這種方法很有效。③有限元法：可以看作是分區的瑞利－裡茲法，其要點是先把結構劃分成适當數量的區域（稱為單元），然後對每一單元施行瑞利－裡茲法。通常取單元邊界上（有時也包括單元内部）若幹個幾何特征點(例如三角形的頂點、邊中點等)處的廣義位移qj作為廣義坐标，并對每個廣義坐标取相應的插值函數作為單元内部的位移函數（或稱形狀函數）。

在這樣的數學模型中，要求形狀函數的組合在相鄰單元的公共邊界上滿足位移連續條件。一般地說，有限元法是最靈活有效的離散化方法，它提供了既方便又可靠的理想化模型，并特别适合于用電子計算機進行分析，是目前最為流行的方法，已有不少專用的或通用的程序可供結構動力學分析之用。

編輯推薦

本書是在作者多年從事結構動力學的教學及研究工作的基礎上撰寫而成。書中在介紹基本概念和基礎理論的同時，也介紹了結構動力學領域的若幹前沿研究課題。本書既注重讀者對基本知識的掌握，也注重讀者對結構振動領域研究發展方向的掌握。

載荷确定

定義

載荷有三個因素，即大小、方向和作用點。如果這些因素随時間緩慢變化，則在求解結構的響應時，可把載荷作為靜載荷處理以簡化計算。載荷的變化或結構的振動是否“緩慢”，隻是一個相對的概念。如果載荷的變化周期在結構自由振動周期的五、六倍以上，把它當作靜載荷将不會帶來多少誤差。若載荷的變化周期接近于結構的自由振動周期，即使載荷很小，結構也會因共振（見線性振動）而産生很大的響應，因而必須用結構動力學的方法加以分析。

分類

動載荷按其随時間的變化規律可以分為：

①周期性載荷，其特點是在多次循環中載荷相繼呈現相同的時間曆程，如旋轉機械裝置因質量不平衡而引起的離心力。周期性載荷可借助傅裡葉分析分解成一系列簡諧分量之和；

②沖擊載荷，其特點是載荷的大小在極短的時間内有較大的變化。沖擊波或爆炸是沖擊載荷的典型來源；

③随機載荷，其時間曆程不能用确定的時間函數而隻能用統計信息描述。由大氣湍流引起的作用在飛行器上的氣動載荷和由地震波引起的作用在結構物上的載荷均屬此類。對于随機載荷，需要根據大量的統計資料制定出相應的載荷時間曆程（載荷譜）。對于前兩種載荷，可以從運動方程解出位移的時間曆程并進一步求出應力的時間曆程。對于随機載荷，隻能求出位移響應的統計信息而不能得到确定的時間曆程，因而須作專門分析才能求出應力響應的統計信息。

困難

在結構動力學分析中，動載荷的确定是一項重要而困難的工作。近年來發展的“載荷識别”是一項新技術，它根據結構在實際工作情況下測得的響應資料反推結構所受到的載荷資料。

運動方程

可用三種等價但形式不同的方法建立，即：

①利用達朗伯原理引進慣性力，根據作用在體系或其微元體上全部力的平衡條件直接寫出運動方程；

②利用廣義坐标寫出系統的動能、勢能、阻尼耗散函數及廣義力表達式，根據哈密頓原理或其等價形式的拉格朗日方程導出以廣義坐标表示的運動方程；

③根據作用在體系上全部力在虛位移上所作虛功總和為零的條件，即根據虛功原理導出以廣義坐标表示的運動方程。對于複雜系統，應用最廣的是第二種方法。

通常,結構的運動方程是一個二階常微分方程組,寫成矩陣形式為：

Μ悮(t)+D妜(t)+Kq(t)=Q(t)，(2)

式中q(t)為廣義坐标矢量，是時間t的函數,其上的點表示對時間的導數；Μ、D、K分别為對應于q(t)的結構質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；Q(t)是廣義力矢量。

方程解法

運動方程(2)可用振型疊加法或逐步積分法求解。

振型疊加法

先求出結構作自由振動時的固有頻率和振型，然後利用求得的振型作為廣義位移函數再對運動方程作一次坐标變換，進而求出方程的解。

一個n個自由度的結構具有n個固有頻率ωj和n個振型═j(j=1,2,…,n)。═j規定了n個廣義坐标qi(i=1,2,…,n)在第j個振型中的相對大小。振型滿足下列關系式：

(3)式中上标“T”為矩陣轉置符号；Μj為第j個振型的廣義質量。ij時的關系式稱為振型的正交條件。正交條件在物理上意味着不同的振型之間不存在能量交換，即結構在作自由振動時各個振型都是獨立進行的。振型疊加法可以有條件地用于有阻尼的情況。若結構的阻尼矩陣可表為：D=αK+βΜ，(4)式中α和β是常數,則稱之為比例阻尼矩陣。

對應的振型滿足(5)式中ξj稱為第j個振型的阻尼系數。同時，有阻尼的自振頻率将改變為。

條件（4）還可放寬為DΜ-1K=KΜ-1D，式中Μ-1為Μ的逆矩陣。通過振型及相應的廣義坐标Yj(t)，可将方程(2)中的廣義坐标矢量q(t)表示為：(6)代入方程(2)，并左乘以═寝，利用正交條件(3)和(5),可将方程(2)轉化為：(7)式中Pj(t)=═j·Q(t)是對應于第j個振型的廣義力。

方程(7)可以通過時域分析法或頻域分析法求解。時域分析法是利用卷積積分給出方程(7)的解,可用于任意變化的載荷情況。頻域分析法是利用傅裡葉分析把周期性載荷展開為一系列簡諧分量之和，然後計算結構對每一簡諧分量的響應，最後疊加各簡諧響應項而獲得結構的總響應。這種方法适用于周期性載荷情況。

對于非周期性載荷，也可以利用傅裡葉變換技術。1965年出現了快速傅裡葉變換──一種用計算機計算離散傅裡葉變換的方法，它在效率和功能方面的優點，使得頻域分析方法能和傳統的時域分析方法相媲美，并正在引起結構動力學領域的變革。

由于運動方程(7)可以逐個獨立地求解，使得振型疊加法具有很大的優越性，因而它已成為結構動力學中一個應用最廣泛的分析方法。對于大多數類型的動載荷，各個振型的響應是不同的，一般是頻率最低的振型響應最大，高頻振型的響應則趨向減小，因而在疊加過程中隻需要計及頻率較低的若幹項，若得到的響應已達到精度要求，就可舍棄頻率較高的各項，從而可以大大減少計算工作量。振型疊加法隻适用于線性振動問題。

逐步積分法

可用于直接求解耦合的運動方程(2),而且對阻尼矩陣的性質不需要附加任何限制，也适用于使振型疊加法失效的非線性結構系統的動力分析，因此是一種普遍适用的方法。該法是把時間劃分為一系列很短的時段，按照初始條件确定初始時刻的廣義位移q和廣義速度妜，通過運動方程(2)解出廣義加速度悮，然後可設悮在這一時段内為常量,通過積分求出在這一時段結束時刻的q和妜值,并以它們作為下一時段的初始值,如此一步一步求解下去，就能得到最終的結果。

如果結構是非線性系統，同樣可假設結構參量（如剛度）在每一時段内是常量并取為該時段開始時刻的瞬時參量值。逐步積分法是一種近似的方法，為了減小積累誤差，必須把時段取得非常短，因而其計算工作量很大。為了提高效率，可以假設加速度在每一時段内為線性函數（或其他簡單函數）。這樣，即使取時段（即積分步長）為運動周期的十分之一甚至五分之一也可以得到合理的結果。

發展動向

二百多年來，結構動力學已經發展成為一門比較成熟的學科。但是，結構動力學仍在探索新的問題，如：

複模态理論

傳統的結構動力學主要以不考慮阻尼或隻考慮比例阻尼系統的振型的純模态理論為基礎，近年來在考慮任意阻尼的複模态理論研究方面已取得一定的進展。深入開展複模态理論的研究将進一步推動結構力學的理論分析方法和實驗技術的發展。

主動振動控制

研究結構動力學的最終目的是要控制振動，防止因振動而造成的損害，而利用其有利的特性。傳統的作法是根據結構動力響應的分析結果，在必要時對結構采取相應的修改措施，這是一種被動的振動控制方式。航空界在20世紀60年代開始發展主動控制技術，即根據振動傳感器所獲得的結構振動信息，通過控制系統加以分析并操縱若幹小型操縱面，以達到降低飛機對大氣湍流的響應水平或推遲顫振發生的目的，這是一種主動的振動控制方式。振動控制由被動發展到主動，是結構動力學中一個值得注意的動向。

優化設計

結構動力學中的傳統作法是分析已有結構的動力特征，其逆問題──設計一個結構使其具有預定的動力特性──越來越引起了人們的重視（見結構優化設計）。

跨學科和其他問題

吸收其他學科的新技術，改善現有的方法和技術以提高它們的效率和精度，并開展跨學科的研究工作。

正文

結構力學的一個分支，着重研究結構對于動載荷的響應（如位移、應力等的時間曆程），以便确定結構的承載能力和動力學特性，或為改善結構的性能提供依據。結構動力學同結構靜力學的主要區别在于它要考慮結構因振動而産生的慣性力（見達朗伯原理）和阻尼力，而同剛體動力學之間的主要區别在于要考慮結構因變形而産生的彈性力。在外加動載荷作用下，結構會發生振動，它的任一部分或者任意取出的一個微體将在外載荷、彈性力、慣性力和阻尼力的共同作用下處于達朗伯原理意義下的平衡狀态。通過位移及其導數來表示這種關系就得到運動方程。運動方程的建立、求解和分析是結構動力學理論研究的基本内容。