發展簡史
人們對拉格朗日中值定理的認識可以上溯到公元前古希臘時代。古希臘數學家在幾何研究中得到如下結論：“過抛物線弓形的頂點的切線必平行于抛物線弓形的底”。這正是拉格朗日定理的特殊情況，古希臘數學家阿基米德正是巧妙地利用這一結論，求出抛物弓形的面積.。
意大利卡瓦列裡在《不可分量幾何學》(1635年)的卷一中給出處理平面和立體圖形切線的有趣引理，其中引理3基于幾何的觀點也叙述了同樣一個事實：曲線段上必有一點的切線平行于曲線的弦。這是幾何形式的微分中值定理，被人們稱為卡瓦列裡定理。該定理是拉格朗日中值定理在幾何學中的表達形式。
1797年，法國數學家拉格朗日在《解析函數論》一書中首先給出了拉格朗日定理，他給出的定理的最初形式是：“函數
在與之間連續，在與之間有最小值與最大值，則必取與之間的一個值。”拉格朗日給出最初的證明，但證明并不嚴格，他給的條件比現在的條件要強，他要求函數f(x)在閉區間上具有連續導數，并且他所用的連續也是直觀的，而不是抽象的。
十九世紀初，在微積分嚴格化運動中，柯西給出了拉格朗日中值定理的嚴格證明，在《無窮小計算教程概論》中，柯西證明了”如果導數在閉區間[a,b]上連續，則必存在一點，使得。 ”柯西又在《微分計算教程》中将拉格朗日中值定理推廣為柯西中值定理。
現代形式的拉格朗日中值定理是由法國數學家博（O.Bonnet）給出的，他不是利用導數的連續性，而是利用羅爾定理對拉格朗日中值定理進行了重新證明。
定理定義
設在上可積，若函數在上單調遞減，且，則至少存在一點，使得
驗證推導
這個定理的推導比較複雜，脌扯到積分上限函數：。以下用 表示從 到 的定積分。
首先需要證明，若函數在 内可積分，則 在此區間内為一連續函數。
證明: 設, 則
因 在上不變号，則由積分第一中值定理知，在 上至少存在一點 , 使得
于是，有
即 , 得證。
定理推廣
1、定理的直接應用
例1設在上可積,在上單調遞增且非負,在處連續,那麼在上存在使
證明：令, ，因為非負且單調遞減( )利用公式有
,而，即
2、積分第二中值定理在證明不等式中的應用
例2證明時，
證明:取,由積分中值定理和它的推論可得:
3、積分中值定理在極限中的應用
例3證明極限
證明：由積分中值定理和它的推論可得:令
令可知g(x)在[0,1]上連續,而且不變号。所以存在ξ使得，因此有以下式子
定理意義
積分第二中值定理證明了在一個二元函數表示的曲頂柱體中,必然存在一個介于最高點和最低點的點,過該點可以做一個與底面平行的平面,截曲頂柱體側面形成的柱體體積和原來的曲頂柱體體積相等。
