矩陣乘法

定義

設A為的矩陣，B為的矩陣，那麼稱的矩陣C為矩陣A與B的乘積，記作，其中矩陣C中的第行第列元素可以表示為：

如下所示：

注意事項

1、當矩陣A的列數（column）等于矩陣B的行數（row）時，A與B可以相乘。

2、矩陣C的行數等于矩陣A的行數，C的列數等于B的列數。

3、乘積C的第m行第n列的元素等于矩陣A的第m行的元素與矩陣B的第n列對應元素乘積之和。

基本性質

乘法結合律：(AB)C=A(BC)

乘法左分配律：(A+B)C=AC+BC

乘法右分配律：C(A+B)=CA+CB

對數乘的結合性k(AB）=(kA)B=A(kB）．

轉置(AB)T=BTAT

矩陣乘法在以下兩種情況下滿足交換律。

AA*=A*A，A和伴随矩陣相乘滿足交換律。

AE=EA，A和單位矩陣或數量矩陣滿足交換律。

其他的乘積形式

除了上述的矩陣乘法以外，還有其他一些特殊的“乘積”形式被定義在矩陣上，值得注意的是，當提及“矩陣相乘”或者“矩陣乘法”的時候，并不是指代這些特殊的乘積形式，而是定義中所描述的矩陣乘法。在描述這些特殊乘積時，使用這些運算的專用名稱和符号來避免表述歧義。

哈達馬積（Hadamardproduct）

矩陣與矩陣的Hadamard積記作。其元素定義為兩個矩陣對應元素的乘積的m×n矩陣。例如，

克羅内克積（KroneckerProduct）

克羅内克積是兩個任意大小的矩陣間的運算，符号記作。克羅内克積也被稱為直積或張量積.以德國數學家利奧波德·克羅内克命名。計算過程如下例所示：

實現

C++代碼

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

73

structMatrix:vector>//使用标準容器vector做基類，需#include語句

{

Matrix(intx=0,inty=0,intz=0)//初始化，默認為0行0列空矩陣

{

assign(x,vector(y,z));

}

inth_size()const//常量說明不可省，否則編譯無法通過

{

returnsize();

}

intl_size()const

{

returnempty()?0:front().size();//列數要考慮空矩陣的情況

}

Matrixpow(intk);//矩陣的k次幂，用快速幂實現，k為0時返回此矩陣的單位矩陣

};

Matrixoperator*(constMatrix&m,constMatrix&n)//常量引用避免拷貝

{

if(m.l_size()!=n.h_size())returnMatrix();//非法運算返回空矩陣

Matrixans(m.h_size(),n.l_size());

for(inti=0;i!=ans.h_size();++i)

for(intj=0;j!=ans.l_size();++j)

for(intk=0;k!=m.l_size();++k)

ans[i][j]+=m[i][k]*n[k][j];

returnans;

}

MatrixMatrix::pow(intk)

{

if(k==0)

{

Matrixans(h_size(),h_size());

for(inti=0;i!=ans.h_size();++i)

ans[i][i]=1;

returnans;

}

if(k==2)return(*this)*(*this);

if(k%2)returnpow(k-1)*(*this);

returnpow(k/2).pow(2);

}

實際應用

數據統計

某公司有四個工廠，分布在不同地區，同時三種産品，産量（單位；t），試用矩陣統計這些數據。

工廠産品

P1

P2

P3

甲

5

2

4

乙

3

8

2

丙

6

0

4

丁

0

1

6

可用下述矩陣描述，其中四行分别表示甲乙丙丁四個工廠的生産情況，三列分布表示三種産品P1，P2，P3的産量。

再設矩陣，其中第一列表示三種産品的單件利潤，第二列表示三種産品的單件體積。

矩陣C的第一列數據分别表示四個工廠的利潤，第二列分别表示四個工廠産品需要的存儲空間。

路徑問題

給定一個有向圖，問從A點恰好走k步（允許重複經過邊）到達B點的方案數。

把給定的圖轉為鄰接矩陣，即A(i,j)=1當且僅當存在一條邊i->j。令C=A*A，那麼C(i,j)=ΣA(i,k)*A(k,j)，實際上就等于從點i到點j恰好經過2條邊的路徑數（枚舉k為中轉點）。類似地，C*A的第i行第j列就表示從i到j經過3條邊的路徑數。同理，如果要求經過k步的路徑數，我們隻需要二分求出A^k即可。