洛必達法則

洛必達法則

确定未定式值的方法
洛必達法則是在一定條件下通過分子分母分别求導再求極限來确定未定式值的方法。衆所周知,兩個無窮小之比或兩個無窮大之比的極限可能存在,也可能不存在。因此,求這類極限時往往需要适當的變形,轉化成可利用極限運算法則或重要極限的形式進行計算。洛必達法則便是應用于這類極限計算的通用方法。[1]
  • 中文名:洛必達法則
  • 外文名:L'Hospital's rule
  • 提出者:約翰·伯努利
  • 一般定義:确定未定式值的一種特殊方法
  • 學科分類:數學、微積分
  • 創立時間:1696年
  • 運算特點:分子、分母同時求導

計算公式

零比零型

若函數滿足下列條件:

(1)

(2)在點a的某去心鄰域内兩者都可導,且

(3)可為實數,也可為±∞),則

無窮比無窮型

若函數滿足下列條件:

(1)

(2)在點a的某去心鄰域内兩者都可導,且

(3)可為實數,也可為),則

其他不定式

不定式極限還有等類型。經過簡單變換,它們一般均可化為型或型的極限。

(1)

可将乘積中的無窮小或無窮大變形到分母上,化為型型。

例:求

解:原式

(2)

把兩個無窮大變形為兩個無窮小的倒數,再通分使其化為型。

例:求

解:原式=

(3)

可利用對數性質将函數化簡成以e為底數的指數函數,對指數進行求極限。變化方法如下

同時針對不同的問題,ln(1+x)~x當x→1+時x-1→0,還可以利用等價無窮小作替換,化簡算式。

例:求

解:原式=

上式求解過程中,利用了等價無窮小的替換,即把替換成了。

(4)

同上面的化簡方法

例:求

解:原式=

(5)

同上面的化簡方法

例:求

解:原式=

注意:不能在數列形式下直接用洛必達法則,因為對于離散變量是無法求導數的。但此時有形式類近的斯托爾茲-切薩羅定理(Stolz-Cesàro theorem)作為替代。。

定理推廣

(1)該定理所有條件中,對的情況,結論依然成立.

(2)該定理第一條件中,的極限皆為時,結論依然成立。

(3)上述的構型,可精煉歸納為;與此同時,下述構型也可用洛必達法則求極限,隻需适當變型推導:

洛必達法則還可以處理0/∞型的極限。

應用條件

在運用洛必達法則之前,首先要完成兩項任務:一是分子分母的極限是否都等于零(或者無窮大);二是分子分母在限定的區域内是否分别可導。如果這兩個條件都滿足,接着求導并判斷求導之後的極限是否存在:如果存在,直接得到答案;如果不存在,則說明此種未定式不可用洛必達法則來解決;如果不确定,即結果仍然為未定式,再在驗證的基礎上繼續使用洛必達法則。

注意事項

求極限是高等數學中最重要的内容之一,也是高等數學的基礎部分,因此熟練掌握求極限的方法對學好高等數學具有重要的意義。洛比達法則用于求分子分母同趨于零的分式極限。

(1)在着手求極限以前,首先要檢查是否滿足型構型,否則濫用洛必達法則會出錯(其實形式分子并不需要為無窮大,隻需分母為無窮大即可)。當不存在時(不包括情形),就不能用洛必達法則,這時稱洛必達法則不适用,應從另外途徑求極限。比如利用泰勒公式求解。

(2)若條件符合,洛必達法則可連續多次使用,直到求出極限為止。

(3)洛必達法則是求未定式極限的有效工具,但是如果僅用洛必達法則,往往計算會十分繁瑣,因此一定要與其他方法相結合,比如及時将非零極限的乘積因子分離出來以簡化計算、乘積因子用等價量替換等等。。

(4)洛必達法則常用于求不定式極限。基本的不定式極限:型;型(),而其他的如型,型,以及型,型和型等形式的極限則可以通過相應的變換轉換成上述兩種基本的不定式形式來求解。

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