歐拉常數

簡介

歐拉常數又稱歐拉-馬斯克若尼常數，近似值為γ≈0.577215664901532860606512090082402431042159335。

歐拉常數最先由瑞士數學家萊昂哈德·歐拉(Leonhard Euler)在1735年發表的文章De Progressionibus harmonicus observationes中定義。歐拉曾經使用C作為它的符号，并計算出了它的前6位小數。1761年他又将該值計算到了16位小數。1790年，意大利數學家馬歇羅尼（Lorenzo Mascheroni)引入了γ作為這個常數的符号，并将該常數計算到小數點後32位。但後來的計算顯示他在第20位的時候出現了錯誤。

概述

歐拉常數（Euler-Mascheroni constant)

歐拉-馬歇羅尼常數(Euler-Mascheroni constant)是一個主要應用于數論的數學常數。它的定義是調和級數與自然對數的差值的極限。

由無窮級數理論可知，調和級數是發散的。但可以證明，

存在極限。由不等式可得

故有下界。而

再一次根據不等式取，即可得

所以單調遞減。由單調有界數列極限定理，可知必有極限，即

存在。該極限被稱作歐拉常數，現在通常将該常數記為γ。

性質

與伽瑪函數的關系

與黎曼函數的關系

積分

級數展開式

連分數展開式（OEIS中的數列A002852）。

漸近展開式

已知位數

歐拉常數約為0.57721566490153286060651209。

日期

位數

計算者

1734年

6

萊昂哈德·歐拉

1736年

15

萊昂哈德·歐拉

1790年

19

Lorenzo Mascheroni

1809年

24

Johann G. von Soldner

1812年

40

F.B.G. Nicolai

1861年

41

Oettinger

1869年

59

William Shanks

1871年

110

William Shanks

1878年

263

約翰·柯西·亞當斯

1962年

1,271

高德納

1962年

3,566

D.W. Sweeney

1977年

20,700

Richard P. Brent

1980年

30,100

Richard P. Brent和埃德溫·麥克米倫

1993年

172,000

Jonathan Borwein

1997年

1,000,000

Thomas Papanikolaou

1998年12月

7,286,255

Xavier Gourdon

1999年10月

108,000,000

Xavier Gourdon和Patrick Demichel

2006年7月16日

2,000,000,000

Shigeru Kondo和Steve Pagliarulo

2006年12月8日

116,580,041

Alexander J. Yee

2007年7月15日

5,000,000,000

Shigeru Kondo和Steve Pagliarulo

2008年1月1日

1,001,262,777

Richard B. Kreckel

2008年1月3日

131,151,000

Nicholas D. Farrer

2008年6月30日

10,000,000,000

Shigeru Kondo和Steve Pagliarulo

2009年1月18日

14,922,244,771

Alexander J. Yee和Raymond Chan

2009年3月13日

29,844,489,545

Alexander J. Yee和Raymond Chan

2011年9月21日

970,258,158

Eric Weisstein [3] 

2013年7月22日

4,851,382,841

Eric Weisstein [3]

計算方法

Xavier Gourdon在1999年使用以下算法計算歐拉常數到了108,000,000位：

對給定的，計算：

則有

其中，

滿足方程。

對給定的n，此方法可以得到接近位的十進制小數精度。