循環小數

循環小數

循環小數英文名：circulatingdecimal

兩數相除，如果得不到整數商，會有兩種情況：一種，得到有限小數。一種，得到無限小數。

從小數點後某一位開始不斷地重複出現前一個或一節數字的十進制無限小數，叫做循環小數，如2.1666...*（混循環小數），35.232323...（循環小數），20.333333…（循環小數）等，被重複的一個或一節數字稱為循環節。循環小數的縮寫法是将第一個循環節以後的數字全部略去，而在第一個循環節首末兩位上方各添一個小點。例如： 

2.966666...縮寫為2.96（6上面有一個點；它讀作“二點九六，六循環”）

35.232323…縮寫為35.23（2、3上面分别有一個點；它讀作“三十五點二三，二三循環”）

循環小數可以利用等比數列求和（附鍊接：等比數列）的方法化為分數。例如圖中的化法。

所以在數的分類中，循環小數屬于有理數。

例如

循環小數的問題中，最著名的是0.999…是否等于1的問題。[2]代數方法為：

證明:

假設X=0.999...

∵10X = 9.999...

10X-X=9.999...-0.999...

即9x = 9

∴x = 1

混循環

将混循環小數改寫成分數，分子是不循環部分與第一個循環節連成的數字組成的數，減去不循環部分數字組成的數之差；分母的頭幾位數字是9，末幾位數字是0，9的個數跟循環節的數位相同，0的個數跟不循環部分的數位相同.

例如：　0.1234=(1234-1)/9990 0.558898=(558898-55)/999900

循環小數化分數

純循環小數的小數部分可以化成分數，這個分數的分子是一個循環節表示的數，分母各位上的數都是9。9的個數與循環節的位數相同。能約分的要約分。

0.111...=1/9、0.12341234...=1234/9999

注意

有限小數的小數位數是有限的

循環小數的小數位數是無限的