定義
一般地,對于函數f(x)
⑴如果對于函數定義域内的任意一個x,都有f(-x)=-f(x),那麼函數f(x)就叫做奇函數。
⑵如果對于函數定義域内的任意一個x,都有f(-x)=f(x),那麼函數f(x)就叫做偶函數。
⑶如果對于函數定義域内的任意一個x,f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)同時成立,那麼函數f(x)既是奇函數又是偶函數,稱為既奇又偶函數。
⑷如果對于函數定義域内的任意一個x,f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)都不能成立,那麼函數f(x)既不是奇函數又不是偶函數,稱為非奇非偶函數。
說明:①奇、偶性是函數的整體性質,對整個定義域而言
②奇、偶函數的定義域一定關于原點對稱,如果一個函數的定義域不關于原點對稱,則這個函數一定不是奇(或偶)函數。
(分析:判斷函數的奇偶性,首先是檢驗其定義域是否關于原點對稱,然後再嚴格按照奇、偶性的定義經過化簡、整理、再與f(x)比較得出結論)
③判斷或證明函數是否具有奇偶性的根據是定義、變式。
變式:奇:f(x)+f(-x)=0;f(x)*f(-x)=-f^2(x);f(x)/f(-x)=-1.
偶:f(x)-f(-x)=0;f(x)*f(-x)=f^2(x);f(x)/f(-x)=1.
圖像特征
定理:奇函數的圖像關于原點成中心對稱圖形,偶函數的圖象關于y軸對稱。
推論:如果對于任一個x,都有f(a+x)+f(b-x)=c,那麼函數圖像關于(a/2+b/2,c/2)中心對稱;
如果對于任意一個x,有f(a+x)=f(a-x),那麼函數圖像關于x=a軸對稱。
奇函數的圖像關于原點對稱
點(x,y)→(-x,-y)
偶函數的圖像關于y軸對稱
點(x,y)→(-x,y)
奇函數在某一區間上單調遞增,則在它的對稱區間上也是單調遞增。
偶函數在某一區間上單調遞增,則在它的對稱區間上單調遞減。
運算
⑴兩個偶函數相加所得的和為偶函數。
⑵兩個奇函數相加所得的和為奇函數。
⑶兩個偶函數相乘所得的積為偶函數。
⑷兩個奇函數相乘所得的積為偶函數。
⑸一個偶函數與一個奇函數相乘所得的積為奇函數。
⑹幾個函數複合,隻要有一個是偶函數,結果是偶函數;若無偶函數則是奇函數。
⑺偶函數的和差積商是偶函數。
⑻奇函數的和差是奇函數。
⑼奇函數的偶數個積商是偶函數。
⑽奇函數的奇數個積商是奇函數。
⑾奇函數的絕對值為偶函數。
⑿偶函數的絕對值為偶函數。
判斷單調
偶函數在對稱區間上的單調性是相反的。
奇函數在整個定義域上的單調性一緻。
奇偶數
一個數滿足xmod2=1,那麼它是奇數;
一個數滿足xmod2=0,那麼它是偶數。
注:mod是餘數的意思。例如:m=xmod2,x=7的話,m=1