基礎定義
一般地,對于函數f(x):
⑴如果對于函數f(x)定義域内的任意一個x,都有f(x)=f(-x)或f(x)/f(-x)=1那麼函數f(x)就叫做偶函數。關于y軸對稱,f(-x)=f(x)。
⑵如果對于函數f(x)定義域内的任意一個x,都有f(-x)=-f(x)或f(x)/f(-x)=-1,那麼函數f(x)就叫做奇函數。關于原點對稱,-f(x)=f(-x)。
⑶如果對于函數定義域内的任意一個x,都有f(x)=f(-x)和f(-x)=-f(x),(x∈R,且R關于原點對稱.)那麼函數f(x)既是奇函數又是偶函數,稱為既奇又偶函數。
⑷如果對于函數定義域内的存在一個a,使得f(a)≠f(-a),存在一個b,使得f(-b)≠-f(b),那麼函數f(x)既不是奇函數又不是偶函數,稱為非奇非偶函數。
定義域互為相反數,定義域必須關于原點對稱
特殊的,f(x)=0既是奇函數,又是偶函數。
說明:
①奇、偶性是函數的整體性質,對整個定義域而言。
②奇、偶函數的定義域一定關于原點對稱,如果一個函數的定義域不關于原點對稱,則這個函數一定不具有奇偶性。
(分析:判斷函數的奇偶性,首先是檢驗其定義域是否關于原點對稱,然後再嚴格按照奇、偶性的定義經過化簡、整理、再與f(x)比較得出結論)
③判斷或證明函數是否具有奇偶性的根據是定義。
④如果一個奇函數f(x)在x=0處有意義,則這個函數在x=0處的函數值一定為0。并且關于原點對稱。
⑤如果函數定義域不關于原點對稱或不符合奇函數、偶函數的條件則叫做非奇非偶函數。例如f(x)=x³【-∞,-2】或【0,+∞】(定義域不關于原點對稱)
⑥如果函數既符合奇函數又符合偶函數,則叫做既奇又偶函數。例如f(x)=0。
注:任意常函數(定義域關于原點對稱)均為偶函數,隻有f(x)=0是既奇又偶函數。
特征
偶函數:若對于定義域内的任意一個x,都有f(-x)=f(x),那麼f(x)稱為偶函數。
奇函數:若對于定義域内的任意一個x,都有f(-x)=-f(x),那麼f(x)稱為奇函數。
定理奇函數的圖像關于原點成中心對稱圖表,偶函數的圖象關于y軸成軸對稱圖形。
奇函數在某一區間上單調遞增,則在它的對稱區間上也是單調遞增。
偶函數在某一區間上單調遞增,則在它的對稱區間上單調遞減。
證明方法
1、利用奇偶函數的定義來判斷(這是最基本,最常用的方法)定義:如果對于函數y=f(x)的定義域A内的任意一個值x,都有f(-x)=-f(x)則這個函數叫做奇函數f(-x)=f(x),則這個函數叫做偶函數。n2、用求和(差)法判斷:n若f(x)-f(-x)=2f(x),則f(x)為奇函數。n若f(x)+f(-x)=2f(x),則f(x)為偶函數。n3、用求商法判斷n若f(-x)/f(x)=-1,(f(x)≠0)則f(x)為奇函數。n若f(-x)/f(x)=1,(f(x)≠0)則f(x)為偶函數。
性質
1、大部分偶函數沒有反函數(因為大部分偶函數在整個定義域内非單調函數)。
2、偶函數在定義域内關于y軸對稱的兩個區間上單調性相反,奇函數在定義域内關于原點對稱的兩個區間上單調性相同。
3、對于F(x)=[g(x)]:
若g(x)是偶函數且f(x)是偶函數,則F[x]是偶函數。
若g(x)是偶函數且f(x)是奇函數,則F[x]是偶函數。
若g(x)是奇函數且f(x)是奇函數,則F[x]是奇函數。
若g(x)是奇函數且f(x)是偶函數,則F[x]是偶函數。
4、奇函數與偶函數的定義域必須關于原點對稱。
常用結論
(1)奇函數在對稱的單調區間内有相同的單調性;
偶函數在對稱的單調區間内有相反的單調性。
(2)若f(x-a)為奇函數,則f(x)的圖像關于點(-a,0)對稱;
若f(x-a)為偶函數,則f(x)的圖像關于直線x=-a對稱。
(3)在f(x),g(x)的公共定義域上:
奇函數±奇函數=奇函數
偶函數±偶函數=偶函數
奇函數×奇函數=偶函數
偶函數×偶函數=偶函數
奇函數×偶函數=奇函數
上述奇偶函數乘法規律可總結為:同偶異奇。