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多邊形及有關要領的教學
1．複習四邊形、凸多邊形及有關概念。
2．通過實例引入多邊形、凸多邊形及明關概念。
⑴舉出生活中多邊形的實例；
⑵類比定義多邊形式、凸多邊形的概念，并指出如果
沒有特别說明，多邊形一般指凸多邊形；
⑵将四邊形的有關概念逐項擴展到多邊形情況，如頂
點、邊、内角、對角線表示方法等；圖4-10
⑷簡單練習，鞏固多邊形的表示方法及有關元素的辨認。
（投影）練習1填空：如圖4-10，此多邊形應記作
邊形，AB邊的鄰邊有、，頂點F處的内角為，畫出頂點D處的兩個外角，過頂點A畫出這個多邊形的對角線，共有多少條，它們把多邊形分在了個三角形，這個多邊形共有多少條對角線。
探索凸多邊形的内角和的性質并進行推導
1．提出問題。
由三角形内角和為180°，四邊形内角和為360°，猜想多邊形的内角和度數與邊數有關。具體是什麼關系？
2．啟發學生猜想證明的思路。
⑴複習四邊形内角和定理的證明過程，強調把四邊形分割成三角形，從而“把四邊形内角和轉化為三角形内角和來研究”這種化歸的思想。
⑵引導學生類比聯想，用化歸的思想和從特殊到一般的方法研究五邊形、六邊形、七邊形……的情況。
①教師應幫助學生分析出解決問題的關鍵是多邊形分割轉化成有公共頂點的三角形的方法，以及割成三角形的個數與多邊數的關系；
②引導學生認識分割方法的多樣性（見設計說明），選擇其中較為簡單并順慶大部分學生認識過程的分割方法，推導五邊形、六邊形……的情況，歸納出n邊形内角和的結論。
3．得到定理：n這形的内角和等于（n-2)?180°。
說明：⑴多邊形的内角和僅與邊數有關，與多邊形的大小、形狀無關；
⑵強調凸多邊形的内角a的範圍：0°<；α<180°。
凸多邊形外角和性質的猜想和推導
1．複習多邊形外角和的含義及三角形、四邊形外角和的性質，猜想凸多邊形的外角和的結論。
2．以六邊形為例，推導外角和性質。
3．将推導方法推廣到一般情況，得出結論：任意多邊形的外角和等于360°。
4．教師強調“任意”兩字，說明書凸多邊形的外角和與邊數無磁，因此，比内角和定理使用起來更為方便。
應用舉例、變式練習
例1⑴22邊形的内角和是多少度？若它的每一個内角都相等，那麼它的
每個外角度數是多少？
⑴幾邊形的内角和是八邊形内角和的2倍？
⑷已知一個多邊形，它的内角和等于外角和的2倍，求邊數。
分析：
①引導學生利用方程的思想，根據多邊形的内角和、外角和的性質及題目中提供的等量關系得出關于未知數的方程去求解；
②對于利用多邊形内角和公式反求邊數的題目，需注意：隻有求出的邊數n是大于2的正整數時，問題才有解；
③靈活運用“多邊形的外角和與邊數無關的性質”簡化計算。
例2⑴已知多邊形的每個内角都是135°，求這個多邊形的邊數；
⑵每個外角都相等的多邊形，如果它的一個内角等于一個外角的9倍，求這個多邊形的邊數。
分析：
①每個内角或外角都相等的多邊形，它的每個内角為（n-2)?180°/n，從而利用360°/n，利用這兩點就可以列出關于邊數n的方程，其中第二種方法較為簡單。
②對于第⑴題，可将“每個角都是135°”轉達化為“每個外角都為45°”，從而利用360°/n=45°，得出n的值為8。
③若設邊數為n，則方程為（n-2)?180°/n=9×360°/n得出n=20。
（選用）例3⑴某多邊形除一個内角a外，其餘内角的和是2750°。求這個多邊形的邊數。
⑵已知n邊形恰有四個内角是鈍角。這種多邊形共有多少個？其中邊數最少的是幾邊形？邊數最多的是幾邊形？
分析：利用多邊形每個内角a的範圍，0°<；α<180°，以及題目所提供的角度關系列不等式解決問題。
解：⑴由題意得（n-2)?180°=α+2750°，∴α=（n-2)?180°-2750°。
又∵0°<；α<180°，∴0°<；（n-2)?180°-2750°<180°，
∴175/18
因此這個多邊形為18邊形。
⑵設四個鈍角分别為α，β，γ，δ。則
∵360°<；α+β+γ+δ<720°。
而另外n-4個内角都是直角或銳角，
∴（n-4）×0°<；其餘（n-4）個内角的和≤（n-4）×90°，
∴360°<；（n-2)?180°<720°+（n-4）×90°，
即360°<；（n-2)?180°<720°+（n-4）×90°，∴4
∵4
∴這樣的多邊形共有三個，其邊數最小的是五邊形，邊數最多的七邊形。
補充練習：
1．幾邊形的内角和與外角和之比是7∶2？（答：9)
2．已知一個多邊形的每個内角都是鈍角，這樣的多邊形有多少個？每個内角都是銳角的多邊形有多少個？是幾邊形？每個内角都是直角的多邊形有幾個？是幾邊形？（答：無數個；一個，三角形；一個，四邊形）
3．多邊形最多有幾個外角是鈍角？最多有幾個内角是銳角？（答：3個；3個）
教具
投影片、表格紙、n邊形若幹（分組每人準備一種三張，n=4，5，6，7)
量角器、剪刀
教學目标
認知目标
理解多邊形有關概念；
理解多邊形内角和公式的推導過程；
掌握多邊形内角和的計算。
能力目标
掌握類比歸納、轉化的學習方法；
培養學生思考、解決問題的能力。
教學過程
教學步驟，教師活動，學生活動，設計意圖
多邊形概念
1、了解概念
⑴請同學們回憶一下怎樣的圖形是三角形？
⑵那麼怎樣的圖形叫做四邊形？
⑶出示分别叫什麼？
⑷四邊形、五邊形、六邊形都是多邊形，同學們再想一想，
你能舉出多邊形的例子嗎？悄悄說，後個别回答
⑵同學舉手指名答
⑶齊答
⑷兩兩互說學生利用三角形、四邊形的定義進行知識遷移，獲得多邊形的概念。
2、理解概念的特征
⑴投影顯示多邊形，n邊形的概念，老師強調一遍。
⑵投影顯示：下列哪些圖形是多邊形？是多邊形的請說明是幾邊形？
⑶下面進一步學習一些概念：多邊形的對角線，在（b）（c）上畫出并口述概念，同學們請在準備的一張圖形上畫出至少一條對角線。
⑷觀察（b）（c）對角線位置有何不同？
⑸進而提出凸多邊形概念，今後如果不說明，我們講的多邊形都是凸多邊形。
⑵齊答個别答
⑶先獨立畫後同桌交流
⑷四人組讨論一分鐘，組長回答利用圖示幫助學生理解概念及對n的認識，通過比較辨析強化凸多邊形的特征。
公式推導
1、提出問題
⑴我們知道三角形内角和是多少？
⑵那麼四邊形、五邊形、常見的六邊形螺帽的内角和是多少呢？多邊形的内角和有沒有計算方法呢？這就是我們這節課研究的課題。
闆書課題：多邊形的内角和
⑴齊答
⑵引發學生思考創設情景，激發學生興趣，并揭示課題。
2、動手操作實踐，自己探索
⑴請同學們利用數學工具，先把你們手上的多邊形的内角和計算出來，并完成表格（同桌多邊形邊數不一樣）老師巡視、指導可能有的方法：
⑴用量角器量角
⑵用剪刀剪成三角形或四邊形
⑶畫對角線分割多邊形為三角形逐步啟發得到最佳方法：通過對角線劃分成三角形，轉化為利用三角形内角和求出。
⑴自己動手、動腦學生利用學具進行操作、思考、解決問題的多種方法，提供學生主動探索的時間、空間。
3、觀察、尋找規律
⑴請問同學們求出的内角和是多少？
⑵你是用什麼方法求出來的呢？有幾種方法？哪種方法最好呢？
⑶交流表格。
⑷四、五、六、七邊形内角和之間有何規律？
⑴對不同邊數多邊形分别請同學回答
⑵舉手請同學上講台講
⑶交流
⑷四人小組讨論，組長發言體現“有方法、方法多、方法好”的教
學層次，通過填表便于學生尋找規律，發現内在聯系，進一步可做出猜想。
4、猜想那麼對于n邊形猜想一下内角和計算公式是什麼？（老師參與讨論）小組之間讨論，組長發言鼓勵學生大膽猜想、大膽發現。
5、驗證
⑴就我們已求出的特殊多邊形的内角和，通過公式再求一次是否相符
⑵請同學們自己舉一個例子驗證一下對不對？有沒有反例？
⑴獨立舉例檢驗
⑵兩兩交流
6、小結歸納通過動手操作，我們找到了解決問題的幾種方法，知道利用多邊形的對角線将多邊形劃分成三角形轉化為利用三角形内角和來求多邊形内角和的方法最好。又通過尋找規律，猜想發現多邊形内角和計算方法，并加以驗證，接着就可以從特殊到一般歸納出計算公式是什麼？自己說通過類比歸納，完成從特
殊到一般的認識、體現數學認識的一般過程。
7、鞏固練習
⑴求12邊形的内角和度數
⑵如果12邊形的每一個内角相等，那麼每個内角是多少度
⑶已知多邊形的内角和為1800°，這個多邊形是幾邊形？老師巡視、指導。集體做，三個學生上黑闆做并請請其他同學講評 加深對公式的理解
總結
本節課我們學習了多邊形的内角和公式，重點是它的推導過程，我們采取的方法是通過對角線劃分，把多邊形分成若幹個三角形，利用熟悉的三角形内角和來做，從特殊的多邊形歸納出n多邊形的内角和公式是（n－2）·180°這種學習方法我們在今後的學習過程中要學用、會用。學生和老師一起總結再次強調
推導公式方法。
延伸，提高練習（時間不夠放在課外）
⑴投影：在n邊形一邊上任取一點P，連結點P與多邊形的每一個頂點，查得幾個三角形，圖中取n=6的情形，你能否根據這樣的劃分多邊形的方法來說明n邊形的内角和等于（n－2）·180°（教師參與讨論）
⑵想一想是否還有其它的劃分方法？
⑴全班交流、彙報
⑵小組讨論、彙報掌握轉化思想
教師
如何營造良好的學習氛圍，發揮學生的學習積極性與創造性？。
老師要放下威嚴的架子，從教學壟斷者轉變為組織引導者，這也正是課程改革新形勢下的教師必須做到的一點，隻有這樣，才能建立平等的民主的師生關系，從而使老師在學生中産生強烈的感召力，使教學不再是冷冰冰的理智活動，而是學生全身心投入的、充滿激情的學習活動。
本課通過從多邊形的一個頂點引出的對角線把多邊形分成n-2個三角形，得出：n邊形的内角和為（n－2)X180°。得出結論後，老師并沒有到此就結束，而是鼓勵學生進行探究。讓學生試着在多邊形内任取一點，由這點向各頂點連線，是否也能推導出内角和公式呢?學生們一下子來了興趣，紛紛在練習本上畫圖、研究，有的學生相互之間還進行了讨論，進行新的探讨。
學生參與
不多時，學生甲興奮地站了起來，說出了他的推導方法：有幾條邊就能分成幾個三角形，這些三角形所有内角和為nX180°。由于以點p為頂點的周角不屬于多邊形的内角，應從中減去，從而就得出n邊形的内角和是（n－2)X180°。接着老師對他進行了鼓勵，和全班同學為他鼓掌祝賀，這個同學的高興勁就甭提了。同時全班學生也對此問題産生了極大的興趣。這時，學生乙（是個女生）也站了起來，“老師，我還有第三種方法”。
她很自信地說出了她推導的道理，并要求到黑闆前畫圖講解，老師又對她進行了鼓勵，“好，你來當老師，我做學生”。隻見她在黑闆上畫了圖，又在其中一邊上取一點p，然後向各頂點連線，也得到了多個三角形，分割成的三角形的個數比邊數少1，所以這些三角形所有的内角和為（n－1)X180°，由于所有三角形的其中一個頂點都在點p上，組成一個平角，不屬于多邊形的内角，應減去，因此，多邊形的内角和為（n－1)X180°－180°，即為（n－2)X180°。
這時，全班學生禁不住鼓起掌，老師也為這個學生高興地鼓掌。看到學生研究問題的興趣很濃，老師順水推舟，激勵學生們繼續探究，既然已有了三種方法，那麼有沒有第四種方法呢?學生們這時的興緻更濃了，開始讨論、探究。過了不久，學生丙站起來，鄭重地向全班學生說：“第四種方法有了！”其他學生迫不及待地想知道他的想法，就連老師當時也沒想到他能找到第四種方法。
他高興地走到黑闆前，拿起粉筆在黑闆上畫了個多邊形，在多邊形的外邊取了個點p，然後從點p向和它不相鄰的頂點連線，這樣，把多邊形分成了2個三角形和（n—3）個四邊形，這2個三角形的内角和為180°X2，（n－3）個四邊形的内角和為（n－3)X360°，總和為180°X2+(n－3)X360°，在這個總和裡，連了幾條線，就多了幾個平角，應減去。
n邊形能連（n－2）條，所以減（n－2）個平角，即180°X2+(n－3)X360°－（n－2)X180°等于（n－2)X180°。這時，整個教室裡又爆發出更熱烈更長久的掌聲。可想而知，此時同學們的心情是多麼激動啊，在他們心目中，數學已經不再是那麼枯燥無味了。或許，他們感覺到數學離他們那麼近，那麼有趣，又那麼奇妙。
總結
掌聲之後，老師鼓勵同學們，數學的奧秘很深，永無止境，你不研究它，感到枯燥，你研究它，感到趣味無窮。數學就是這樣。
