垂心

垂心

三角形的三條高線的交點叫做三角形的垂心。銳角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角頂點上；鈍角三角形的垂心在三角形外。

口訣

三角形上作三高，三高必于垂心交。nn高線分割三角形，出現直角三對整，nn直角三角有十二，構成九對相似形，nn四點共圓圖中有，細心分析可找清。

性質

設△ABC的三條高為AD、BE、CF，其中D、E、F為垂足，垂心為H，角A、B、C的對邊分别為a、b、c，p=(a+b+c)/2．

銳角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角頂點上；鈍角三角形的垂心在三角形外。

三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者說，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；

垂心H關于三邊的對稱點，均在△ABC的外接圓上。

△ABC中，有六組四點共圓，有三組(每組四個)相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。

H、A、B、C四點中任一點是其餘三點為頂點的三角形的垂心(并稱這樣的四點為一—垂心組)。

△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圓是等圓。

在非直角三角形中，過H的直線交AB、AC所在直線分别于P、Q，則AB/AP·tanB+AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。

設O，H分别為△ABC的外心和垂心，則∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。

銳角三角形的垂心到三頂點的距離之和等于其内切圓與外接圓半徑之和的2倍。

銳角三角形的垂心是垂足三角形的内心；銳角三角形的内接三角形(頂點在原三角形的邊上)中，以垂足三角形的周長最短（施瓦爾茲三角形，最早在古希臘時期由海倫發現）。

西姆松定理（西姆松線）：從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在三角形的外接圓上。

設銳角△ABC内有一點P，那麼P是垂心的充分必要條件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。

設H為非直角三角形的垂心，且D、E、F分别為H在BC，CA，AB上的射影，H1，H2，H3分别為△AEF，△BDF，△CDE的垂心，則△DEF≌△H1H2H3。

三角形垂心H的垂足三角形的三邊，分别平行于原三角形外接圓在各頂點的切線。

三角形任一頂點到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的2倍。（垂心伴随外接圓，必有平行四邊形）

推論（垂心餘弦定理）：銳角三角形ABC的垂心為H，則AH/cosA=BH/cosB=CH/cosC=2R（可引入有向距，推廣到任意三角形）

三角形ABC的垂心為H，外接圓和内切圓半徑分别為R和r，則AH+BH+CH=2(R+r)

證明

如圖，雖然“角”的符号成了亂碼，但大家應該能看懂。CF為要證的高；兩個角（DOC與BAD）相等後利用相似證，此部分從略。直角三角形的情況，直角頂點顯然是垂心；鈍角——大家沒發現三角形OBC垂心就是A嗎？

垂心的重心坐标反而比外心簡單一點。先計算下列臨時變量（與外心一樣）：

d1,d2,d3分别是三角形三個頂點連向另外兩個頂點向量的點乘。

c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

垂心坐标：(c1/c，c2/c，c3/c)。

向徑

定義

設點H為銳角三角形ABC的垂心，向量OH=h，向量OA=a，向量OB=b，向量OC=c，則h=(tanAa+tanBb+tanCc)/(tanA+tanB+tanC).

垂心坐标的解析解：

設三個頂點的坐标分别為(a1，b1)(a2，b2)(a3，b3)，那麼垂心坐标x=Δx/2/Δ，y=-Δy/2/Δ。

其中，

Δ=det([x2-x1，x3-x2，y2-y1，y3-y2]);

Δx=det([(x1+x2)*(x2-x1)+(y1+y2)*(y2-y1)，y2-y1;(x2+x3)*(x3-x2)+(y2+y3)*(y3-y2)，y3-y2]);

Δy=det([x3-x2，(y2+y3)*(y3-y2);x3-x1，(y3+y1)*(y3-y1)+(x2-x1)*(x1-x3)]);

垂心的向量特征：三角形ABC内一點O，向量OA·OB=OB·OC=OC·OA，則點O是三角形的垂心

證明

由OA·OB=OB·OC，得

OA·OB-OC·OB=0

∴(OA-OC)·OB=0

∴CA·OB=0，即OB垂直于AC邊

同理由OB·OC=OC·OA，可得OC垂直于AB邊

由OA·OB=OC·OA，得OA垂直于BC邊

∴點O是三角形的垂心。