相關概念
函數
在數學中，叠代函數是在分形和動力系統中深入研究的對象。叠代函數是重複的與自身複合的函數，這個過程叫做叠代。
模型
叠代模型是RUP（Rational Unified Process，統一軟件開發過程，統一軟件過程）推薦的周期模型。
算法
叠代算法是用計算機解決問題的一種基本方法。它利用計算機運算速度快、适合做重複性操作的特點，讓計算機對一組指令（或一定步驟）進行重複執行，在每次執行這組指令（或這些步驟）時，都從變量的原值推出它的一個新值。
RUP模型
理解
如果認為這個解釋難以理解，可以這樣想：
我們開發一個産品，如果不太複雜，會采用瀑布模型，簡單的說就是先定義需求，然後構建框架，然後寫代碼，然後測試，最後發布一個産品。
這樣，幾個月過去了，直到最後一天發布時，大家才能見到一個産品。
這樣的方式有明顯的缺點，假如我們對用戶的需求判斷的不是很準确時——這是很常見的問題，一點也不少見——你工作了幾個月甚至是幾年，當你把産品拿給客戶看時，客戶往往會大吃一驚，這就是我要的東西嗎？
方法
叠代的方式就有所不同，假如這個産品要求6個月交貨，我在第一個月就會拿出一個産品來，當然，這個産品會很不完善，會有很多功能還沒有添加進去，bug很多，還不穩定，但客戶看了以後，會提出更詳細的修改意見，這樣，你就知道自己距離客戶的需求有多遠，我回家以後，再花一個月，在上個月所作的需求分析、框架設計、代碼、測試等等的基礎上，進一步改進，又拿出一個更完善的産品來，給客戶看，讓他們提意見。
就這樣，我的産品在功能上、質量上都能夠逐漸逼近客戶的要求，不會出現我花了大量心血後，直到最後發布之時才發現根本不是客戶要的東西的情況。
優勢
這樣的方法很不錯，但他也有自己的缺陷，那就是周期長、成本很高。在應付大項目、高風險項目——就比如是航天飛機的控制系統時，叠代的成本比項目失敗的風險成本低得多，用這種方式明顯有優勢。
如果你是給自己的單位開發一個小MIS，自己也比較清楚需求，工期上也不過花上個把月的時間，用叠代就有點殺雞用了牛刀，那還是瀑布模型更管用，即使是做得不對，頂多再花一個月重來，沒什麼了不起。
基本算法
有些國外的教材，如《C++ Primer》第四版的中文版，會把iterative翻譯成叠代。
在java中Iterative 僅用于遍曆集合，本身并不提供盛裝對象的能力。如果需要創建Iterative對象，則必須有一個被叠代的集合。沒有集合的Iterative仿佛無本之木，沒有存在的價值。
iterative是反複的意思，所以，有時候，叠代也會指循環執行，反複執行的意思。
利用叠代算法解決問題，需要做好以下三個方面的工作：
确定變量
在可以用叠代算法解決的問題中，至少存在一個直接或間接地不斷由舊值遞推出新值的變量，這個變量就是叠代變量。
建立關系式
所謂叠代關系式，指如何從變量的前一個值推出其下一個值的公式（或關系）。叠代關系式的建立是解決叠代問題的關鍵，通常可以使用遞推或倒推的方法來完成。
過程控制
在什麼時候結束叠代過程?這是編寫叠代程序必須考慮的問題。不能讓叠代過程無休止地重複執行下去。叠代過程的控制通常可分為兩種情況：一種是所需的叠代次數是個确定的值，可以計算出來；另一種是所需的叠代次數無法确定。對于前一種情況，可以構建一個固定次數的循環來實現對叠代過程的控制；對于後一種情況，需要進一步分析出用來結束叠代過程的條件。
例1 ： Fibonacci Sequence(斐波那契數列)
即這樣一個數列：0、1、1、2、3、5、8、13......，在數學上該數列定義為：
F(0)=0，F(1)=1; F(n) = F(n-1)+F(n-2) (n≥2,n∈N*)。
一般該數列可以遞歸實現，下面是用C語言 叠代 實現：
int fab(int n)
{ if (n<3)
{return 1;}
else
{int first = 1,second = 1,temp = 0;
for (int i =0;i
{temp = first + second;
first = second;
second = temp;}
return temp;
}
}
例 1 ：一個飼養場引進一隻剛出生的新品種兔子，這種兔子從出生的下一個月開始，每月新生一隻兔子，新生的兔子也如此繁殖。如果所有的兔子都不死去，問到第 12 個月時，該飼養場共有兔子多少隻?
分析：這是一個典型的遞推問題。我們不妨假設第 1 個月時兔子的隻數為 u 1 ，第 2 個月時兔子的隻數為 u 2 ，第 3 個月時兔子的隻數為 u 3 ，……根據題意，“這種兔子從出生的下一個月開始，每月新生一隻兔子”，則有
以下是引用片段：
u 1 = 1 ， u 2 = u 1 + u 1 × 1 = 2 ， u 3 = u 2 + u 2 × 1 = 4 ，……
根據這個規律，可以歸納出下面的遞推公式：
以下是引用片段：
u n = (u n - 1） × 2 (n ≥ 2）* ①
對應 u n 和 u n - 1 ，定義兩個叠代變量y 和 x ，可将上面的遞推公式轉換成如下叠代關系：
以下是引用片段：
y=x*2
x=y
讓計算機對這個叠代關系重複執行 11 次，就可以算出第 12 個月時的兔子數。參考程序如下：
以下是引用片段：
cls
x=1
for i=2 to 12
y=x*2
x=y
next i
print y
end
例 2 ：阿米巴用簡單分裂的方式繁殖，它每分裂一次要用 3 分鐘。将若幹個阿米巴放在一個盛滿營養參液的容器内， 45 分鐘後容器内充滿了阿米巴。已知容器最多可以裝阿米巴 2 20 個。試問，開始的時候往容器内放了多少個阿米巴?請編程序算出。
分析：根據題意，阿米巴每 3 分鐘分裂一次，那麼從開始的時候将阿米巴放入容器裡面，到 45 分鐘後充滿容器，需要分裂 45/3=15 次。而“容器最多可以裝阿米巴 2 20 個”，即阿米巴分裂 15 次以後得到的個數是 2 20。題目要求我們計算分裂之前的阿米巴數，不妨使用倒推的方法，從第 15 次分裂之後的 2 20 個，倒推出第 15 次分裂之前（即第 14 次分裂之後）的個數，再進一步倒推出第 13 次分裂之後、第 12 次分裂之後、……第 1 次分裂之前的個數。
設第 1 次分裂之前的個數為 x 0 、第 1 次分裂之後的個數為 x 1 、第 2 次分裂之後的個數為 x 2 、……第 15 次分裂之後的個數為 x 15 ，則有
以下是引用片段：
x 14 =x 15 /2 、 x 13 =x 14 /2 、…… x n-1 =x n /2 (n ≥ 1）
因為第 15 次分裂之後的個數 x 15 是已知的，如果定義叠代變量為 x ，則可以将上面的倒推公式轉換成如下的叠代公式：
x=x/2 (x 的初值為第 15 次分裂之後的個數 2 20）
讓這個叠代公式重複執行 15 次，就可以倒推出第 1 次分裂之前的阿米巴個數。因為所需的叠代次數是個确定的值，我們可以使用一個固定次數的循環來實現對叠代過程的控制。參考程序如下：
以下是引用片段：
cls
x=2^20
for i=1 to 15
x=x/2
next i
print x
end
例 3 ：驗證角谷猜想。日本數學家角谷靜夫在研究自然數時發現了一個奇怪現象：對于任意一個自然數 n ，若 n 為偶數，則将其除以 2 ；若 n 為奇數，則将其乘以 3 ，然後再加 1。如此經過有限次運算後，總可以得到自然數1。人們把角谷靜夫的這一發現叫做“角谷猜想”。
要求：編寫一個程序，由鍵盤輸入一個自然數n ，把 n 經過有限次運算後，最終變成自然數 1 的全過程打印出來。
分析：定義叠代變量為 n ，按照角谷猜想的内容，可以得到兩種情況下的叠代關系式：當 n 為偶數時， n=n/2 ；當 n 為奇數時， n=n*3+1。用 QBASIC 語言把它描述出來就是：
以下是引用片段：
if n 為偶數 then
n=n/2
else
n=n*3+1
end if
這就是需要計算機重複執行的叠代過程。這個叠代過程需要重複執行多少次，才能使叠代變量n 最終變成自然數1 ，這是我們無法計算出來的。因此，還需進一步确定用來結束叠代過程的條件。仔細分析題目要求，不難看出，對任意給定的一個自然數n ，隻要經過有限次運算後，能夠得到自然數 1 ，就已經完成了驗證工作。因此，用來結束叠代過程的條件可以定義為：n=1。參考程序如下：
以下是引用片段：
cls
input "Please input n=";n
do until n=1
if n mod 2=0 then
rem 如果 n 為偶數，則調用叠代公式 n=n/2
n=n/2
print "—";n;
else
n=n*3+1
print "—";n;
end if
loop
end
應用實例
叠代法是用于求方程或方程組近似根的一種常用的算法設計方法。設方程為f(x)=0，用某種數學方法導出等價的形式x=g(x），然後按以下步驟執行：
⑴ 選一個方程的近似根，賦給變量x0;
⑵ 将x0的值保存于變量x1，然後計算g(x1），并将結果存于變量x0;
⑶ 當x0與x1的差的絕對值還大于指定的精度要求時，重複步驟⑵的計算。
若方程有根，并且用上述方法計算出來的近似根序列收斂，則按上述方法求得的x0就認為是方程的根。上述算法用C程序的形式表示為：
【算法】叠代法求方程的根
以下是引用片段：
{ x0=初始近似根；
do {
x1=x0;
x0=g(x1）； /*按特定的方程計算新的近似根*/
} while (fabs(x0-x1）>Epsilon);
printf（“方程的近似根是%fn”，x0);
}
叠代算法也常用于求方程組的根，令
X=(x0，x1，…，xn-1）
設方程組為：
xi=gi(X) (I=0，1，…，n-1）
則求方程組根的叠代算法可描述如下：
【算法】叠代法求方程組的根
以下是引用片段：
{ for (i=0;i
x=初始近似根；
do {
for (i=0;i
y=x;
for (i=0;i
x=gi(X);
for (delta=0.0,i=0;i
if (fabs(y-x)>delta) delta=fabs(y-x);
} while (delta>Epsilon);
for (i=0;i
printf（“變量x[%d]的近似根是 %f”，I，x);
printf（“n”）；
}
具體使用叠代法求根時應注意以下兩種可能發生的情況：
⑴ 如果方程無解，算法求出的近似根序列就不會收斂，叠代過程會變成死循環，因此在使用叠代算法前應先考察方程是否有解，并在程序中對叠代的次數給予限制；
⑵ 方程雖然有解，但叠代公式選擇不當，或叠代的初始近似根選擇不合理，也會導緻叠代失敗。
① N 為兔子的個數， M為月份 （N+N*1）^M-1=2N^M-1 （注解）
