定理
介值定理說明如下。
考慮實數域上的區間以及在此區間上的連續函數。那麼，
（1）如果是在之間的數，也就是說：
那麼，存在使得。
（2）值域也是一個區間，或者它包含，或者它包含。
與完整性關系
定理取決于，或者說等價于實數的完整性。 介值定理不适用于有理數Q，因為有理數之間存在無理數。 例如，函數 滿足 。 然而，不存在有理數x使得 ，因為 是一個無理數。
證明
該定理可以根據實數的完整性來證明：
我們将證明第一種情況， ，第二種情況類似。
讓S是[a，b]中的所有x的集合，讓 。S是非空的因為a是S的元素，并且b是S的邊界。 因此，通過完整性，存在上限 。 也就是說，c是大于或等于S的每個元素的最小數。我們稱 。
存在 。 由于f是連續的，當 時，存在 ，使得 。 這意味着
對于所有的，存在屬于S的 ，使得
選擇 ，這顯然不會包含在S中，所以我們有
兩種不等式
對于所有的 都是成立的，如我們所說，我們推導出 是唯一可能的值。
介值定理也可以使用非标準分析的方法來證明，這在非常嚴格的基礎上提出了涉及無限小數的“直觀”論證。 （見文章：非标微積分）
曆史
對于上面的u = 0，該聲明也稱為博爾紮諾定理。這個定理在1817年被伯納德·博爾紮諾（Bernard Bolzano）首次證明。奧古斯丁 - 路易·柯西在1821年提供了一個證據。兩者的靈感來自于對約瑟夫·路易斯拉格朗日函數的分析正式化的目标。連續函數具有中間值的想法早有起源。西蒙·斯蒂文通過提供用于構造解的十進制擴展的算法，證明了多項式的介值定理（以立方為例）。該算法叠代地将間隔細分為10個部分，在叠代的每個步驟産生一個附加的十進制數字。在給出連續性的正式定義之前，将介值作為連續函數定義的一部分。支持者包括路易斯·阿博加斯特（Louis Arbogast），沒有跳躍的函數滿足介值定理，并且具有尺寸對應于變量大小的增量。早期的作者認為結果是直觀的，不需要證明。博爾紮諾和柯西的觀點是定義一個連貫性的概念（就柯西案中的無限小數而言，在博爾紮諾案中使用實際的不平等），并提供基于這種定義的證據。
錯的定理
“Darboux函數”是具有“介值屬性”的實值函數f，即滿足介值定理的結論：對于f的域中的任何兩個值a和b，以及任何y在f（a）和f（b）中，a和b之間有一些c，f（c）= y。介值定理說每個連續函數都是一個Darboux函數。但是，并不是每個Darboux功能都是連續的；即介值定理的相反是錯的。
例如，對于x> 0和f（0）= 0，取 定義的函數 在x = 0時連續，這個函數在x=0處不連續，但是該函數具有介值屬性。
曆史上，這個介值屬性被建議為實數函數連續性的定義，但這個定義沒有被采納。
Darboux定理指出，由某些區間上某些其他函數的區分産生的所有函數都具有介值屬性（盡管它們不需要連續）。
應用
定理意味着，在世界各地的任何一個大環境中，對于溫度，壓力，高程，二氧化碳濃度來說，如果是連續變化的，那麼總是會存在兩個與該變量相同值的對映點。
證明：将f作為圓上的任何連續函數。在圓的中心繪制一條線，在兩個相對的點A和B處與其相交。令d由差定義。如果線旋轉180度，将取代值-d。由于介值定理，必須有一些中間旋轉角，其中d = 0，因此 在該角度。
對于任何封閉的凸n（n> 1）尺寸形狀。具體來說，對于其領域是給定形狀的任何連續函數，以及形狀（不一定是其中心）内的任何點，相對于函數值相同的給定點存在兩個對象點。證明與上述相同。
這個定理也是為什麼旋轉搖擺表将使其變得穩定的解釋（受到某些容易遇到的限制）。
特殊情況
如果f(a)與f(b)異号，那麼在開區間（a,b）内至少有一點ξ，使得f(ξ)=0 (a<ξ
幾何意義
連續曲線弧y=f(x)與水平直線y=C至少相交于一點。特别地，如果A與B異号，則連續曲線與x軸至少相交一次。
定理推廣
在閉區間[a,b]上連續的函數f(x)的值域為閉區間[m,M]，其中m與M依次為f(x)在[a,b]上的最小值和最大值。
