基本概念
定義
設函數 ，式中 隻對 在非負整數值上有定義，在自變量x依次取遍非負整數，即 時，相應的函數值為
簡記為
定義1 當自變量從 變到 時，函數 的改變量
稱為函數 在點 的一階差分，通常記作
例題解析
例1 設 ，求 。
解: 。
例2 設 (其中 且 )，求 。
解: 。
可見，指數函數的差分等于指數函數乘上一個常數。
例3 設 ，求 。
解:。
高階差分
下面給出高階差分的定義。
定義2 當自變量從 變到 時，一階差分的差分
稱為函數 的二階差分，記作 ，即
同樣，二階差分的差分稱為三階差分，記為 ，即
依此類推，可得函數的n階差分為
性質及定理
（1）(C為常數)；
（2）；
（3）；
（4）若為最高次項系數為的n次多項式，則；
（5）若為n次多項式，則；
（6）若，則是x的一個次數小于等于r的代數多項式。
差分方程
定義3 凡含有自變量x，未知函數 及未知函數的差分 的函數方程稱為差分方程，如方程
是差分方程．方程中差分的最高階數(即△上方最大的數字)稱為差分方程的階，幾階就稱為幾階差分方程，n階稱為n階差分方程。
由于n階差分總可表示成n+1個點上函數值的線性組合．因而差分方程又可定義如下。
定義4 凡是含有自變量x以及兩個或兩個以上的未知函數值的函數方程
稱為差分方程。方程中未知函數下标的最大值與最小值的差稱為差分方程的階。
定義5 (1) 如果将已知函數 代人差分方程，能使其對 成為恒等式，則稱函數 為該差分方程的一個解；
(2) 對于n階差分方程，含有n個獨立的任意常數的解稱為該差分方程的通解；(3)差分方程的不包含任意常數的解稱為該方程的特解。
在通解中給定一組任意常數所确定的解，就是該n階差分方程的特解，常由初始條件求出一組任意常數的值，确定特解。
