曆史
在1614年開始有對數概念，約翰·納皮爾以及Jost Bürgi（英語：Jost Bürgi）在6年後，分别發表了獨立編制的對數表，當時通過對接近1的底數的大量乘幂運算，來找到指定範圍和精度的對數和所對應的真數，當時還沒出現有理數幂的概念。1742年William Jones（英語：William Jones (mathematician)）才發表了幂指數概念。按後來人的觀點，Jost Bürgi的底數1.0001相當接近自然對數的底數e，而約翰·納皮爾的底數0.99999999相當接近1/e。實際上不需要做開高次方這種艱難運算，約翰·納皮爾用了20年時間進行相當于數百萬次乘法的計算，Henry Briggs（英語：Henry Briggs (mathematician)）建議納皮爾改用10為底數未果，他用自己的方法于1624年部份完成了常用對數表的編制。
1649年，Alphonse Antonio de Sarasa（英語：Alphonse Antonio de Sarasa）将雙曲線下的面積解釋為對數。大約1665年，艾薩克·牛頓推廣了二項式定理，他将展開并逐項積分，得到了自然對數的無窮級數。“自然對數”最早描述見于尼古拉斯·麥卡托在1668年出版的著作《Logarithmotechnia》中，他也獨立發現了同樣的級數，即自然對數的麥卡托級數。大約1730年，歐拉定義互為逆函數的指數函數和自然對數.
e在科學技術中用得非常多，一般不使用以10為底數的對數。以e為底數，許多式子都能得到簡化，用它是最“自然”的，所以叫“自然對數”。
我們可以從自然對數最早是怎麼來的來說明其有多“自然”。以前人們做乘法就用乘法，很麻煩，發明了對數這個工具後，乘法可以化成加法，即：。
當然後來數學家對這個數做了無數研究，發現其各種神奇之處，在對數表中出現并非偶然，而是相當自然或必然的。因此就叫它自然對數底了。
概念
常數e的含義是單位時間内，持續的翻倍增長所能達到的極限值。
自然對數的底e是由一個重要極限給出的。我們定義：當n趨于無窮大時，，
e是一個無限不循環小數，其值約等于2.718281828459…，它是一個超越數。
函數類型
對數函數
當自然對數 中真數為連續自變量時，稱為對數函數，記作 （x為自變量，y為因變量）。
反函數
曆史上自然對數y=lnx的産生要比e要早些，當時人們對于微分和不定積分的求法已經熟知，并且很早就得到了幂函數的不定積分表達式。但對于n=-1的情況，因n=-1代入幂函數的不定積分表達式中将使分母為0，所以該如何求原函數，或者說到底該如何積分，數學家們采用了多種方法均無法得到滿意的回答。
例如采用分部積分法，
兩邊減掉，将得到0=1的結論。
于是數學家們想到了利用積分變限函數來給出的原函數，即定義一個新的函數
根據這個定義立刻可以知道。并且根據可導必連續的性質，lnx在(0,+∞)上處處連續、可導。其導數為(1/x)>0，所以在(0,+∞)單調增加。又根據反常積分和分别發散至可知，函數的值域為R。雖然這與現代對數函數的運算法則和性質相符，但當時人們并沒有意識到這就是對數函數，并且以e為底。
接下來人們便開始考慮y=lnx的反函數的問題。設y=lnx的反函數為x=f(y)，由反函數的求導法則可知，
如果用x來表示自變量，y來表示因變量，那麼自然對數的反函數y=f(x)滿足一個非常重要的性質：
即這個函數求導後仍得到它本身，并且當x=0時，y=1，我們把這個函數寫作 。
由反函數的性質可知y=exp(x)是定義在R上的單調遞增并且處處連續、可微的函數，其值域為(0,+∞)。由于exp(x)求導後得到它自身并且exp(0)=1，我們便可不斷地重複該步驟，通過幂級數的知識可知exp(x)能在R上展開成麥克勞林級數：
那為什麼後來人們會發現 呢？這是因為當人們在求指數函數y=ax的導數時，采用了這樣的方法：
根據複合函數的求導法則， 。當a=e時， 。上文說過，在發明自然對數時，人們不知道y=lnx與e之間的關系，所以不知道lne=1。但是，利用 ，結合歸結原則有 ，于是：
所以：
由于 與 求導以後都得到 ，根據原函數的性質， ，C為積分常數。将x=0代入等式兩端，有1=1+C，C=0，即證明了 。
數學家們才恍然大悟，原來 與 有着千絲萬縷的聯系，并且知道了 是對數函數的一種，其底為e。又利用 ，得到了
令x=1，則又得到了一個關于e的定義式：
當然，根據 ，也可以将e定義為使 的x的取值。
e與π的哲學意義
數學講求規律和美學，可是圓周率π和自然對數e那樣基本的常量卻那麼混亂，就如同兩個“數學幽靈”。人們找不到π和e的數字變化的規律，可能的原因：例如：人們用的是十進制，古人掰指頭數數，因為是十根指頭，所以定下了十進制，而二進制才是宇宙最樸素的進制，也符合陰陽理論，1為陽，0為陰。再例如：人們把π和e與那些規整的數字比較，所以覺得e和π很亂，因此涉及“參照物”的問題。那麼，如果把π和e都換算成最樸素的二進制，并且把π和e這兩個混亂的數字相互比較，就會發現一部分數字規律，e的小數部分的前17位與π的小數部分的第5-21位正好是倒序關系，這麼長的倒序，或許不是巧合。
說明[ ]符号内為17位倒序區。
二進制π取部分值為11.0010[01000011111101101]010100010001000010110100011
二進制e取部分值為10.[10110111111000010]101000101100010100010101110110101
17位倒序區的意義：或許暗示e和π的發展初期可能按照某種彼此相反的規律發展，之後e和π都脫離了這個規律。但是，由于2進制隻用0和1來表示數，因而出現相同，倒序相同，栅欄重排相同的情況不足為奇，雖然這種情況不一定是巧合，但思辨性結論不是科學結論，不應該作為科學證據使用。
複數的對數
問題：求複數 的對數，規定 為 的幅角主值。
解答：
設有一複數 ，其通過指數函數 将 映射為 。
∴
由複數相等的定義，得到：
所以 ，即
記 為對數函數，可以看到在複數中對數函數是多值函數（即一個自變量對應多個因變量），并且有無數個分支。特别地，當k=0時，稱 為對數函數的主值支，此時用記号 來表示。
即w的實部為z的模取自然對數，虛部為z的幅角主值。這就是當真數為複數時的對數運算公式。注意，因為實部需要對z的模取自然對數，因此r≠0。我們知道在複平面上隻有0這個複數的模為0，其他任何複數的模都大于0，所以在複數域中，除了z=0以外所有的複數都可以求對數。
例：求ln(-1)
解：-1=cosπ+isinπ，其模為1，幅角主值為π。代入公式得：
由此可見 ，即 ，這就是歐拉恒等式。
運算法則
不等式一
前面已經說過，自然對數可以利用雙曲線下的面積來理解。由雙曲線圖象，可知：
當時，。
當時，也就是說。
所以說：
當時，。
當時，。
不等式二
由雙曲線圖象，可知：
當時，。
當時，。
所以說：
，其中等号當且僅當時成立。
不等式三
由雙曲線圖象，可知：
當時，。
當時，。
所以說：，其中等号當且僅當時成立。
相關推論
推論一
證明
推論二
當為正數時，。
證明
