羅爾中值定理:微分學定理-中文百科頻道

羅爾中值定理

微分學定理

羅爾中值定理是微分學中一條重要的定理，是三大微分中值定理之一，描述如下：如果函數f(x)滿足以下條件：（1）在閉區間[a,b]上連續，（2）在(a,b)内可導，（3）f(a)=f(b)，則至少存在一個ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0。

中文名:羅爾中值定理外文名: 别名:羅爾定理英文名:Rolle mean value theorem 适用領域範圍:物理、數學等提出時間:1691年應用學科:高數适用領域範圍:物理、數學等

證明過程

證明：因為函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，所以存在最大值與最小值，分别用M和m表示，分兩種情況讨論：

1.若M=m，則函數f(x)在閉區間[a,b]上必為常數，結論顯然成立。

2.若M>m，則因為f(a)=f(b)使得最大值M與最小值m至少有一個在(a,b)内某點ξ處取得，從而ξ是f(x)的極值費馬引理點，由條件f(x)在開區間(a,b)内可導得f(x)在ξ處可導，故由推知：f'(ξ)=0。

若連續曲線y=f(x)在區間[a,b]上所對應的弧段AB，除端點外處處具有不垂直于x軸的切線，且在弧的兩個端點A,B處的縱坐标相等，則在弧AB上至少有一點C，使曲線在C點處的切線平行于x軸。