定理定義
如果函數在閉區間上連續，在上不變号，并且在閉區間上是可積的，則在上至少存在一個點，使下式成立：
定理證明
由于在上不變号，不妨設。并且由在上的連續性可知，在上存在最大值和最小值，使得，将不等式兩邊同時乘以，得到：
，
,對上式在上取積分得
若，上式等号成立，，定理顯然成立。
若，不等式兩邊同除以，有
由介值定理，存在ε∈[a,b]，使得，即。定理得證。
應用實例
求極限。
解：取為，，，則，，并有
由于有界，因此
即原式的極限為0。
積分第一中值定理
将複雜函數的積分化為簡單函數的積分的方法
積分第一中值定理是積分中值定理的推廣之一，此外還有積分第二中值定理。積分中值定理揭示了一種将積分化為函數值，或者是将複雜函數的積分化為簡單函數的積分的方法。是數學分析的基本定理和重要手段，在求極限、判定某些性質點、估計積分值等方面應用廣泛。研究了第一積分中值定理"中值點"ξ和推廣的第一積分中值定理"中值點"ξ的分析性質,證明了ξ具有連續性和可導性。 [1]
- 中文名:積分第一中值定理
- 外文名:First mean value theorem for definite integrals
- 别名:First Integration Mid-value Theorem
- 表達式:
- 提出者:
- 适用領域:微積分
- 應用學科:數學
