祖沖之:南北朝時期的數學家-中文百科頻道

人物生平

家世背景

西晉末期至十六國時期，北方發生大規模戰亂，祖沖之的先輩從範陽郡（今河北省涞水縣）遷徙到東晉國都建康（今江蘇省南京市），祖沖之遂出生于建康，其祖父祖昌任劉宋朝大匠卿，是朝廷管理土木工程的官吏，父親祖朔之做“奉朝請”，學識淵博，常被邀請參加皇室的典禮、宴會。

祖沖之出生在一個世代對天文曆法都有所研究的家庭，受環境熏陶，他自幼就對數學和天文學有着非常濃厚的興趣。

祖沖之從小就受到很好的家庭教育。爺爺給他講“鬥轉星移”，父親領他讀經書典籍，家庭的熏陶，耳濡目染，加之自己的勤奮，使他對自然科學和文學、哲學，特别是天文學産生了濃厚的興趣，在青年時代就有了博學的名聲。

早年經曆

祖沖之曾在著作中自述說，從很小的時候起便“專功數術，搜爍古今”。他把從上古時起直至他生活的時代止的各種文獻、記錄、資料，幾乎全都搜羅來進行考察。同時，主張決不“虛推古人”，決不把自己束縛在古人陳腐的錯誤結論之中，并且親自進行精密的測量和仔細的推算。像他自己所說的那樣，每每“親量圭尺，躬察儀漏，目盡毫厘，心窮籌策”。

由于祖沖之博學多才的名聲，被南朝宋孝武帝派至當時朝廷的學術研究機關華林學省做研究工作，後來又到總明觀任職。當時的總明觀是全國最高的科研學術機構，相當于現在的中國科學院。總明觀内分設文、史、儒、道、陰陽5門學科，實行分科教授制度，請來各地有名望的學者任教，祖沖之就是其一。在這裡，祖沖之接觸了大量國家藏書，包括天文、曆法、術算方面的書籍，具備了借鑒與拓展的先決條件。

潛心科學

大明五年（461年），祖沖之擔任南徐州（今江蘇鎮江）刺史府裡的從事，先後任南徐州從事吏、公府參軍。祖沖之在這一段期間，雖然生活很不安定，但是仍然繼續堅持學術研究，并且取得了很大的成就。

大明六年（462年），祖沖之把精心編成的《大明曆》送給宋孝武帝請求公布實行，宋孝武帝命令懂得曆法的官員對這部曆法的優劣進行讨論，最終，宋孝武帝決定在大明九年（465年）改行新曆。

大明八年（464年），祖沖之被調到婁縣（今江蘇昆山縣東北）作縣令。之後又到建康（今江蘇南京），擔任谒者仆射的官職。從這時起，一直到南朝齊初年，他花了較大的精力來研究機械制造，重造出了用銅制機件傳動的指南車，發明了一天能走百裡的“千裡船”和“木牛流馬”、水碓磨（利用水力加工糧食的工具），還設計制造過漏壺（古代計時器）和巧妙的欹器。

晚年生活

祖沖之的晚年，正值南齊後期，統治階級内部矛盾尖銳，政治黑暗，社會動蕩不安。在這種情況下，祖沖之的研究方向有了很大的變化。他着重研究文學和社會科學，同時也比較關心政治。

隆昌元年（494年）到建武五年（498年）之間，他擔任長水校尉的官職。當時他寫了一篇《安邊論》，建議政府開墾荒地，發展農業，增強國力，安定民生，鞏固國防。齊明帝看到後想令他“巡行四方，興造大業，可以利百姓者”，後因南齊的統治已經無法再維持下去。國家政權搖搖欲墜，再加上南北朝之間的連年戰争，祖沖之良好的政治主張無法在國家内部施行，更無法實現了。

永元二年（500年），這位卓越的大科學家去世，享年七十二歲。他的天文曆法心血之作《大明曆》在天監九年（510年）才以《甲子元曆》之名頒行。

主要影響

數學

數學史上的創舉——“祖率”

祖沖之算出圓周率（π）的真值在3.1415926和3.1415927之間，相當于精确到小數第7位，簡化成3.1415926，祖沖之因此入選世界紀錄協會世界第一位将圓周率值計算到小數第7位的科學家。祖沖之還給出圓周率(π)的兩個分數形式：22/7（約率）和355/113（密率），其中密率精确到小數第7位。祖沖之對圓周率數值的精确推算值，對于中國乃至世界是一個重大貢獻，後人将“約率”用他的名字命名為“祖沖之圓周率”，簡稱“祖率”。

圓周率的應用很廣泛，尤其是在天文、曆法方面，凡牽涉到圓的一切問題，都要使用圓周率來推算。如何正确地推求圓周率的數值，是世界數學史上的一個重要課題。中國古代數學家們對這個問題十分重視，研究也很早。在《周髀算經》和《九章算術》中就提出徑一周三的古率，定圓周率為三，即圓周長是直徑長的三倍。此後，經過曆代數學家的相繼探索，推算出的圓周率數值日益精确。

東漢張衡推算出的圓周率值為3.162。三國時王蕃推算出的圓周率數值為3.155。魏晉的著名數學家劉徽在為《九章算術》作注時創立了新的推算圓周率的方法——割圓術，将圓周率的值為邊長除以2，其近似值為3.14；并且說明這個數值比圓周率實際數值要小一些。劉徽以後，探求圓周率有成就的學者，先後有南朝時代的何承天，皮延宗等人。何承天求得的圓周率數值為3.1428，皮延宗求出圓周率值為22/7≈3.14。

祖沖之認為自秦漢以至魏晉的數百年中研究圓周率成績最大的學者是劉徽，但并未達到精确的程度，于是他進一步精益鑽研，去探求更精确的數值。

圓周率

根據《隋書·律曆志》關于圓周率（π）的記載：“宋末，南徐州從事史祖沖之，更開密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數在盈朒二限之間。密率，圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率，圓徑七，周二十二。”祖沖之把一丈化為一億忽，以此為直徑求圓周率。他計算的結果共得到兩個數：一個是盈數（即過剩的近似值），為3.1415927；一個是朒數（即不足的近似值），為3.1415926。

盈朒兩數可以列成不等式，如：3.1415926（*）<π（真實的圓周率）<3.1415927（盈），這表明圓周率應在盈朒兩數之間。按照當時計算都用分數的習慣，祖沖之還采用了兩個分數值的圓周率。一個是355/113（約等于3.1415927），這一個數比較精密，所以祖沖之稱它為“密率”。另一個是22/7（約等于3.14），這一個數比較粗疏，所以祖沖之稱它為“約率”。

祖沖之在圓周率方面的研究，有着積極的現實意義，他的研究适應了當時生産實踐的需要。他親自研究度量衡，并用最新的圓周率成果修正古代的量器容積的計算。古代有一種量器叫做“釜”，一般的是一尺深，外形呈圓柱狀，祖沖之利用他的圓周率研究，求出了精确的數值。他還重新計算了漢朝劉歆所造的“律嘉量”，利用“祖率”校正了數值。以後，人們制造量器時就采用了祖沖之的“祖率”數值。

數學傑作《綴術》

祖沖之寫過《綴術》五卷，被收入著名的《算經十書》中。《隋書》評論“學官莫能究其深奧，故廢而不理”，認為《綴術》理論十分深奧，計算相當精密，學問很高的學者也不易理解它的内容，在當時是數學理論書籍中最難的一本。

在《綴術》中，祖沖之提出了“開差幂”和“開差立”的問題。“差幂”一詞在劉徽為《九章算術》所作的注中就有了，指的是面積之差。“開差幂”即是已知長方形的面積和長寬的差，用開平方的方法求它的長和寬，它的具體解法已經是用二次代數方程求解正根的問題。而“開差立”就是已知長方體的體積和長、寬、高的差，用開立方的辦法來求它的邊長；同時也包括已知圓柱體、球體的體積來求它們的直徑的問題。所用到的計算方法已是用三次方程求解正根的問題了，三次方程的解法以前沒有過，祖沖之的解法是一項創舉。

《綴術》還曾流傳至朝鮮和日本，在朝鮮、日本古代教育制度、書目等資料中，都曾提到《綴術》。

《宋史·楚衍傳》中說“于《九章》《緝古》《綴術》《海島》諸算經尤得其妙。天聖(1023-1031)初造新曆”。

曆法

改革閏法

在古代，中國曆法家一向把十九年定為計算閏年的單位，稱為“一章”，在每一章裡有七個閏年。也就是說，在十九個年頭中，要有七個年頭是十三個月，這種閏法一直采用了一千多年。412年，北涼趙厞創作《元始曆》，才打破了歲章的限制，規定在六百年中間插入二百二十一個閏月。

祖沖之吸取了趙厞的理論，加上他自己的觀察，認為十九年七閏的閏數過多，每二百年就要差一天，而趙厞六百年二百二十一閏也不十分準确。因此，祖沖之提出了391年144閏月的新閏法。

祖沖之的閏周精密程度極高，按照他的推算，一個回歸年的長度為365.2428141日，與今天的推算值僅相差46秒。一直到南宋的《統天曆》，才采用了比這更精确的數據。

應用“歲差”

根據物理學原理，剛體在旋轉運動時，假如絲毫不受外力的影響，旋轉的方向和速度應該是一緻的；如果受了外力影響，它的旋轉速度就要發生周期性的變化。地球就是一個表面凹凸不平、形狀不規則的剛體，在運行時常受其他星球吸引力的影響，因而旋轉的速度總要發生一些周期性的變化，不可能是絕對均勻一緻的。因此，每年太陽運行一周（實際上是地球繞太陽運行一周），不可能完全回到上一年的冬至點上，總要相差一個微小距離。按現代天文學家的精确計算，大約每年相差50.2秒，每七十一年八個月向後移一度。這種現象叫作歲差。

随着天文學的逐漸發展，中國古代科學家們漸漸發現了歲差的現象。西漢的鄧平、東漢的劉歆、賈逵等人都曾觀測出冬至點後移的現象，不過他們都還沒有明确地指出歲差的存在。到東晉初年，天文學家虞喜才開始肯定歲差現象的存在，并且首先主張在曆法中引入歲差。他給歲差提出了第一個數據，算出冬至日每五十年退後一度。後來到南朝劉宋初年，何承天認為歲差每一百年差一度，但是他在他所制定的《元嘉曆》中并沒有應用歲差。祖沖之繼承了前人的科學研究成果，不但證實了歲差現象的存在，算出歲差是每四十五年十一個月後退一度，而且在他制作的《大明曆》中應用了歲差。

首次提出“交點月”的計算

祖沖之在我國天文學史上第一次提出，月亮相繼兩次通過黃道、白道的同一交點的時間（即“交點月”）長度為27.2123日，與現今推算值僅相差十萬分之一日，即不到1秒，由于日食、月食（統稱交食），都發生在黃白交點附近，所以祖沖之的交點月長度對于日月食預報具有十分重要的意義。

推算出交點月的日數以後，就更能準确地推算出日蝕或月蝕發生的時間。祖沖之在他制訂的《大明曆》中，應用交點月推算出來的日、月蝕時間比過去準确，和實際出現日、月蝕的時間都很接近。

編撰《大明曆》

經過實際觀測，祖沖之發現何承天所編的當時正在執行的《元嘉曆》有許多錯誤，如日月方位距實測值已相差3度，冬至、夏至已差了1天，五星的出沒已差40餘天，于是他着手編撰《大明曆》。

祖沖之在《大明曆》的編纂中，區分了回歸年和恒星年，最早将歲差引進曆法，提出了用圭表測量正午太陽影長以定冬至時刻的方法，并采用了391年加144個閏月的新閏周，推算出一個回歸年為365.24281481日。一直到南宋的《統天曆》，才采用了比這更精确的數據。

天文

祖沖之對木、水、火、金、土等五大行星在天空運行的軌道和運行一周所需的時間，也進行了觀測和推算，給出了更精确的五星會合周期。中國古代科學家算出木星（古代稱為歲星）每十二年運轉一周。西漢劉歆作《三統曆》時，發現木星運轉一周不足十二年。

祖沖之進行了重新測量，得出木星每84年超辰一次的結論，即定木星公轉周期為11.858年（今測為11.862年）。并得出更精确多五星會合周期，木星398.903日（誤差0.019日），火星780.031日（誤差0.094日），土星378.070日（誤差0.022日），金星583.931日（誤差0.009日），水星115.880日（誤差0.002日）。

機械

祖沖之設計制造過水碓磨、銅制機件傳動的指南車、千裡船、定時器等。在中國古代指南車的名稱由來已久，但其機制構造則未見流傳。三國時代的馬鈞曾造指南車，至晉再次亡失。東晉末年劉裕攻長安，得後秦統治者許多器物，其中也有指南車，但“機數不精，雖曰指南，多不審正，回曲步驟，猶須人功正之”。南朝宋昇明年間(477-479年)蕭道成輔政，“使沖之追修古法。沖之改造銅機，圓轉不窮而司方如一，馬鈞以來未有也。”祖沖之所制指南車的内部機件全是銅的，它的構造精巧，運轉靈活，無論怎樣轉彎，木人的手常常指向南方。

祖沖之改良了水碓磨。在西晉初年，杜預改進發明了“連機碓”和“水轉連磨”。一個連機碓能帶動好幾個石杵一起一落地舂米；一個水轉連磨能帶動八個磨同時磨粉。祖沖之又在這個基礎上進一步加以改進，把水碓和水磨結合起來，生産效率就更加提高了。這種加工工具，中國南方有些農村還在使用着。

祖沖之還設計制造過一種千裡船，史載“又造千裡船，于新亭江試之，日行百餘裡”。它可能是利用輪子激水前進的原理造成的，一天能行一百多裡。

祖沖之曾制造過“欹器”。這種器具用來盛水“中則正，滿則覆”，古人常放置在身邊以自警，“晉時杜預有巧思，造欹器三改不成”。南齊永明年間竟陵文宣王蕭子良“好古，沖之造欹器獻之”。

其他

祖沖之的成就不僅限于自然科學方面，他還精通樂理.對于音律很有研究。祖沖之又著有《易義》《老子義》《莊子義》《釋論語》等關于哲學的書籍，都已經失傳了。文學作品方面他著有《述異記》，在《太平禦覽》等書中可以看到這部著作的片斷。

曆史評價

華羅庚（《從祖沖之的圓周率談起》）：“祖沖之不僅是一位數學家，同時還通曉天文曆法、機械制造、音樂，并且還是一位文學家。祖沖之制訂的《大明曆》，改革了曆法，他将圓周率算到了小數點後七位，是當時世界最精确的圓周率數值，而他創造的“密率”聞名于世。”

《南史》：沖之解鐘律博塞，當時獨絕，莫能對者。

人民網：祖沖之父子的數學研究成就彙集于他的數學專著《綴術》中。這本書極其高深，以至于“學官莫能究其深奧，故廢而不理”。在唐朝官學中，《綴術》也被列為必讀的十部算經之一，且需學習4年，年限為各經之首。後來，《綴術》傳至朝鮮，但10世紀以後，《綴術》漸漸在各國失傳了。盡管今天已無從知道《綴術》的具體内容，但從該書在唐代官學中的學習年限及史書中相關的零星記載，我們仍可以想見其學術價值。

轶事典故

曆法之争

462年（南朝宋大明六年），祖沖之把精心編成的《大明曆》送給宋孝武帝請求公布實行。宋孝武帝命令懂得曆法的官員對這部曆法的優劣進行讨論。在讨論過程中，祖沖之遭到了以戴法興為代表的反對，祖沖之著《曆議》一文予以駁斥。在“曆議”中，他寫下了兩句名言：“願聞顯據，以核理實”，“浮辭虛貶，竊非所懼”。為了明辨是非，他願意彼此拿出明顯的證據來相互讨論，至于那些捕風捉影無根據的貶斥，他絲毫也不懼怕。戴法興認為，曆法中的傳統持續下來的方法是“古人制章”、“萬世不易”的；他責罵祖沖之是什麼“誣天背經”，認為天文和曆法是“非凡夫所測”、“非沖之淺慮，妄可穿鑿”的。祖沖之卻大不以為然。他反駁說，不應該“信古而疑今”，假如“古法雖疏，永當循用”，那還成什麼道理！日月五星的運行“非出神怪，有形可檢，有數可推”，隻要進行精密的觀測和研究，孟子所說的“千歲之日至可坐而緻也”，是完全可以做得到的。

刻苦求精

祖沖之那個時代，算盤還未出現，人們普遍使用的計算工具叫算籌，它是一根根幾寸長的方形或扁形的小棍子，有竹、木、鐵、玉等各種材料制成。通過對算籌的不同擺法，來表示各種數目，叫做籌算法。如果計算數字的位數越多，所需要擺放的面積就越大。用算籌來計算不象用筆，筆算可以留在紙上，而籌算每計算完一次就得重新擺動以進行新的計算；隻能用筆記下計算結果，而無法得到較為直觀的圖形與算式。因此隻要一有差錯，比如算籌被碰偏了或者計算中出現了錯誤，就隻能從頭開始。祖沖之為求得圓周率的精準數值，就需要對九位有效數字的小數進行加、減、乘、除和開方運算等十多個步驟的計算，而每個步驟都要反複進行十幾次，開方運算有50次，最後計算出的數字達到小數點後十六、七位。