定義
收斂性n
數學分析的基本概念之一，它與“有确定的(或有限的)極限”同義，“收斂于……”相當于說“極限是……(确定的點或有限的數)”。
常見收斂性n
依分布收斂n
亦稱“弱收斂”，稱随機變量列依分布收斂于随機變量X，記作Xn⇒X，如果在X的分布函數F(x)的每一連續點x上，Xn的分布函數Fn(x)收斂于F(x)。
依概率收斂n
亦稱“随機收斂”。稱随機變量列{Xn}依概率收斂于随機變量X。
以概率1收斂n
亦稱幾乎必然收斂。稱随機變量列X1，X2，…，Xn，…以概率1收斂于随機變量X，若随機變量列以概率1收斂，則它必依概率收斂，反之則未必。
均方收斂n
即“平均收斂”，概率論中常用的一種收斂性，{ξn，n≥1}是随機變量列，且E|ξn|<+∞，如果E|ξ|<+∞，且E|ξn-ξ|=0.，則稱ξn均方收斂到随機變量ξ.均方收斂在随機分析及随機過程中占有重要地位。
研究n
非協調有限元收斂性研究的進展
為檢驗非協調元的收斂性，1970年代西方學者lrons提出“小片檢驗”準則，一直未獲證明。
其後，德國數學家Stummel指出該準則并非收斂性的充要條件。中國學者石鐘慈分析了工程計算中一些不滿足“小片檢驗”準則卻有收斂效果的實例，從理論上證明了這些實例在某些場合下确為收斂，否定了“小片檢驗”的必要性，并給出可獲收斂結果的網格剖分條件。從而擴大了非協調元的使用範圍，在理論和實際上均具有重大意義。n
石鐘慈還發現并首次從理論上研究了非協調元的一種較普遍存在的奇特的錯向收斂現象。即有限元近似解可收斂到非真解的錯誤極限。他找到若幹這種非協調元，具體給出其錯誤極限，證實非協調元的解有時強烈依賴于網格剖分的幾何形狀。n
Stummel後來提出非協調元收斂的充要條件：廣義小片檢驗。因過于理論化，實踐中不便應用。石鐘慈采用了小片檢驗的某些合理内核，并運用廣義小片檢驗嚴格的數學論證方法，提出一種理論上嚴格、又簡便實用的非協調元收斂性的F—E—M準則。運用這一準則可以方便地檢驗包括未通過小片檢驗的元在内的大量非協調元。
坎托羅維奇定理n
牛頓叠代法的半局部收斂定理.它是俄國數學家坎托羅維奇(Канторович，Л.В.)于1948年首先給出的，在叠代法收斂性研究中有深遠影響.定理内容為：假定F：D⊂R→R及初始近似x滿足下列條件：n
- F′(x)存在，且‖F′(x)‖≤β，‖F′(x)F(x)‖≤η;n
2.在x的鄰域S(x，δ)⊂D内F′(x)存在，且滿足條件：‖F′(x)-F′(y)‖≤r‖x-y‖，對任何x，y∈S(x，δ)，并且η，η時，則方程F(x)=0于S(x，δ)有解x存在，同時，由牛頓法x=x-F′(x)F(x)(k=0，1，…)，産生的序列{x}收斂于x，且有誤差估計‖x-x‖≤θ2θη。
拉克斯等價性定理n
揭示差分方程相容性、穩定性與收斂性三者之間關系的重要定理.該定理表述為：對于适定的線性偏微分方程組初值問題，一個與之相容的線性差分格式收斂的充分必要條件是該格式是穩定的.該定理以美國數學家拉克斯(Lax，P.D.)命名，利用這一定理，可把困難的收斂性研究轉化成對相容性與穩定性的讨論。
