分段插值
插值多項式餘項公式說明插值節點越多，誤差越小，函數逐近越好，但後來人們發現，事實并非如此，例如：取被插函數，在[-5，5]上的n+1個等距節點：
計算出f(xk）後得到Lagrange插值多項式Ln(x），考慮[-5,5]上的一點x=5-5/n，分别取n=2,6,10,14,18計算f(x),Ln(x）及對應的誤差Rn(x）。
随節點個數n的增加，誤差lRn(x)l不但沒減小，反而不斷的增大.這個例子最早是由Runge研究，後來人們把這種節點加密但誤差增大的現象稱為Runge現象.出現Runge現象的原因主要是當節點n較大時，對應的是高次插值多項式。
此差得積累"淹沒"了增加節點減少的精度.Runge現象否定了用高次插值公式提高逼近精度的想法，本節的分段插值就是克服Runge現象引入的一種插值方法.
分段多項式插值的定義為
定義2:a=x0
如果函數Φ（x）滿足條件
Φ（x）在[a,b]上連續
Φ（xr)=yR,R=0,1，…，n
Φ（x)zai每個小區間[xR,xR+1]是m次多項式，
R=0,1，…，n-1則稱Φ（x）為f(x）在[a,b]上的分段m次插值多項式
實用中，常用次數不超過5的底次分段插值多項式，本節隻介紹分段線性插值和分段三次Hermite插值，其中分段三次Hermite插值還額外要求分段插值函數Φ（x)
在節點上與被插值函數f(x）有相同的導數值，即
基本思想将被插值函數f〔x〕的插值節點由小到大排序，然後每對相鄰的兩個節點為端點的區間上用m次多項式去近似f〔x〕.
插值法原理
數學内插法即“直線插入法”。其原理是，若A(i1,b1),B(i2,b2)為兩點，則點P(i,b)在上述兩點确定的直線上。而工程上常用的為i在i1,i2之間，從而P在點A、B之間，故稱“直線内插法”。n
數學内插法說明點P反映的變量遵循直線AB反映的線性關系。n
上述公式易得。A、B、P三點共線，則nn(b-b1)/(i-i1)=(b2-b1)/(i2-i1)=直線斜率，變換即得所求。n
