心形線:數學曲線-中文百科頻道

基本性質

a=1時的心髒線的周長為 8，圍得的面積為3π/2。n心髒線亦為蚶線的一種。n在 Mandelbrot set 正中間的圖形便是一個心髒線。n

數學表達

極坐标方程

水平方向： r=a(1-cosθ) 或 r=a(1+cosθ) (a>0)

垂直方向： r=a(1-sinθ) 或 r=a(1+sinθ) (a>0)

直角坐标方程

心形線的平面直角坐标系方程表達式分别為 x^2+y^2+a*x=a*sqrt(x^2+y^2) 和 x^2+y^2-a*x=a*sqrt(x^2+y^2）

參數方程

x=a*(2*cos(t)-cos(2*t))

y=a*(2*sin(t)-sin(2*t))

所圍面積為3/2*PI*a^2，形成的弧長為8a

心髒線的曆史

愛情故事

值得一提的是,傳說著名的心形線方程也是笛卡爾提出的。

數學家笛卡爾流落到瑞典,邂逅了美麗的公主克裡斯蒂娜。國王知道了這件事後,強行拆散了他們。後來,笛卡爾生病死去,在臨死前給公主寄了一封信,信中隻有一行字:r=a（1-sinθ）。同樣喜歡數學的公主最終解開了這行字的秘密——這就是美麗的心形線。

《數學的故事》裡面說到了數學家笛卡爾的愛情故事。笛卡爾于1596年出生在法國，歐洲大陸爆發黑死病時他流浪到瑞典。

1649年，斯德哥爾摩的街頭，52歲的笛卡爾邂逅了18歲的瑞典公主克裡斯汀。幾天後，他意外的接到通知，國王聘請他做小公主的數學老師。跟随前來通知的侍衛一起來到皇宮，他見到了在街頭偶遇的女孩子。從此，他當上了小公主的數學老師。

小公主的數學在笛卡爾的悉心指導下突飛猛進，笛卡爾向她介紹了自己研究的新領域--直角坐标系。每天形影不離的相處使他們彼此産生愛慕之心，公主的父親國王知道了後勃然大怒，下令将笛卡爾處死，小公主克裡斯汀苦苦哀求後，國王将其流放回法國，克裡斯汀公主也被父親軟禁起來。

笛卡爾回法國後不久便染上重病，他日日給公主寫信，因被國王攔截，克裡斯汀一直沒收到笛卡爾的信。笛卡爾在給克裡斯汀寄出第十三封信後就氣絕身亡了，這第十三封信内容隻有短短的一個公式：r=a(1-sinθ）。國王看不懂，覺得他們倆之間并不是總是說情話的，将全城的數學家召集到皇宮，但沒有一個人能解開，他不忍心看着心愛的女兒整日悶悶不樂，就把這封信交給一直悶悶不樂的克裡斯汀。

公主看到後，立即明了戀人的意圖，她馬上着手把方程的圖形畫出來，看到圖形，她開心極了，她知道戀人仍然愛着她，原來方程的圖形是一顆心的形狀。這也就是著名的“心形線”。

國王死後，克裡斯汀登基，立即派人在歐洲四處尋找心上人，無奈斯人已故，先她一步走了，徒留她孤零零在人間

據說這封享譽世界的另類情書還保存在歐洲笛卡爾的紀念館裡。

故事真相

在曆史上，笛卡爾和克裡斯蒂娜的确有過交情。但笛卡爾是1649年10月4日應克裡斯蒂娜邀請才來到瑞典，而當時克裡斯蒂娜已成為了瑞典女王。笛卡爾與克裡斯蒂娜談論的主要是哲學問題而不是數學。有資料記載，由于克裡斯蒂娜女王時間安排很緊，笛卡爾隻能在早晨五點與她探讨哲學。笛卡爾真正的死因是因天氣寒冷加上過度操勞患上的肺炎，而不是黑死病。

另類弧度

1、極坐标系下繪制 r = Arccos(sinθ)，我們也會得的一個漂亮的心形線。

2、更為複雜的心形線：

3、數學愛好者創作的平面直角坐标系下的心形線，由兩個函數表達式構成，但在利用幾何畫闆作圖時請務必将角度單位從默認的度改為弧度。