定義介紹
A是n階方陣，若r（A）=r，存在可逆矩陣P、Q，使得：，則B為幂等矩陣，。
等價命題1：若A是幂等矩陣，則與A相似的任意矩陣是幂等矩陣；
等價命題2：若A是幂等矩陣，則A的AH、AT、A*、E-AH、E-AT都是幂等矩陣；
等價命題3：若A是幂等矩陣，則對于任意可逆陣T，也為幂等矩陣；
等價命題4：若A是幂等矩陣，A的k次幂仍是幂等矩陣。
由于幂等矩陣所具有的良好性質及其對向量空間的劃分，幂等矩陣在可對角化矩陣的分解中具有重要的作用，同時也為空間的投影過程提供了一種工具。
性質
幂等矩陣的主要性質：
1.幂等矩陣的特征值隻可能是0，1；
2.幂等矩陣可對角化；
3.幂等矩陣的迹等于幂等矩陣的秩，即tr(A)=rank(A)；
4.可逆的幂等矩陣為E；
5.方陣零矩陣和單位矩陣都是幂等矩陣；
6.幂等矩陣A滿足：A(E-A)=(E-A)A=0；
7.幂等矩陣A：Ax=x的充要條件是x∈R(A)；
8.A的核N(A)等于(E-A)的列空間R(E-A),且N(E-A)=R(A)。考慮幂等矩陣運算後仍為幂等矩陣的要求，可以給出幂等矩陣的運算：
1）設 A₁，A₂都是幂等矩陣，則(A₁+A₂) 為幂等矩陣的充分必要條件為：A₁·A₂ =A₂·A₁=0，且有：R(A₁+A₂) =R (A₁) ⊕R (A₂)；N(A₁+A₂) =N(A₁)∩N(A₂)；
2）設 A₁， A₂都是幂等矩陣，則(A₁-A₂) 為幂等矩陣的充分必要條件為：A₁·A₂=A₂·A₁=A₂，且有：R(A₁-A₂) =R(A₁)∩N (A₂)；N (A₁- A₂) =N (A₁)⊕R (A₂)；
3）設 A₁，A₂都是幂等矩陣，若A₁·A₂=A₂·A₁，則A₁·A₂為幂等矩陣，且有：R (A₁·A₂) =R(A₁) ∩R (A₂)；N (A₁·A₂) =N (A₁) +N (A₂)。
