簡介
隻有1和本身即隻能被自身和1整除的正整數叫做素數。孿生素數是指兩個相差為2的素數，例如3和5，17和19。而随着素數的增大，下一個素數離上一個素數應該越來越遠，故古希臘數學家歐幾裡得猜想，存在無窮多對素數，他們隻相差2，例如3和5，5和7，2003663613×2195,000-1和2003663613×2195,000+1等等。
素數定理說明了素數在趨于無窮大時變得稀少的趨勢。而孿生素數，與素數一樣，也有相同的趨勢，并且這種趨勢比素數更為明顯。
由于孿生素數猜想的高知名度以及它與哥德巴赫猜想的聯系，因此不斷有學術共同體外的數學愛好者試圖證明它。有些人聲稱已經證明了孿生素數猜想。然而，尚未出現能夠通過專業數學工作者審視的證明。
1849年，波林那克（Alphonse de Polignac）提出了更一般的猜想：對所有自然數k，存在無窮多個素數對(p,p+2k)。k=1的情況就是孿生素數猜想。
進展
以下是S100以内的孿生素數分布表
素數——那些因數除了1就是他們本身的數們——就像代數的原子一樣。從歐幾裡得——他在2000年前證明了素數有無窮多個——開始，它們就讓無數數學家們為之傾倒。
因為素數從根本上和乘法相關，理解他們和加法相關的性質就變得很困難。一些數學上最古老的未解之謎就和素數和加法相關，其中之一就是孿生素數Q——存在無限多組差為2的素數對。另一個則是哥德巴赫猜想，這個猜想提出所有的偶數都可以表示為兩個素數之和。
在自然數列的起始部分存在着大量的素數，但是随着數字變大，它們變得越來越稀少。舉例來說，在前10個自然數裡，40%都是素數——2，3，5和7——但是在所有的10位數裡，僅有4%的數是素數。在過去的一個世紀裡，數學家們掌握了素數減少的規律：在大數中，連個素數之間的間隔大約是位數的2.3倍。舉例說明，在100位的數中，兩個素數的平均間隔大約是230。
但是這隻是平均而言。素數通常比平均預計的更加緊密的出現，或者相隔更遠。具體來說，“孿生”素數通常紮堆出現，比如3和5還有11和13，他們的差僅為2。而在大數中，孿生素數似乎從沒有完全消失（詳見本詞條的最大值）。
1849年，法國數學家阿爾方·波利尼亞克提出了“波利尼亞克猜想”：對所有自然數k，存在無窮多個素數對(p,p+2k)。k等于1時就是孿生素數猜想，而k等于其他自然數時就稱為弱孿生素數猜想（即孿生素數猜想的弱化版）。因此，有人把波利尼亞克作為孿生素數猜想的提出者。
從那時開始，這些猜想的内在吸引力冠予了它們數學的聖杯的稱号，雖然他們可能沒有實際的應用價值。雖然有很多數學家們緻力于證明這一猜想，他們還是不能排除素數的間隔會一直增長最終超過一個特定上限的可能。
1921年，英國數學家戈弗雷·哈代和約翰·李特爾伍德提出一個與波利尼亞克猜想類似的猜想，通常稱為“哈代-李特爾伍德猜想”或“強孿生素數猜想”（即孿生素數猜想的強化版）。這一猜想不僅提出孿生素數有無窮多對，而且還給出其漸近分布形式。中國數學家周海中指出：要證明強孿生素數猜想，人們仍要面對許多巨大的困難。
最大值
目前已知最大的孿生素數共有388,342位數，通過分布式計算項目Primegrid的Sophie Germain素數搜索項目于2016年9月14日發現：
2,996,863,034,895×21,290,000±1
非估算性
早在20世紀初，德國數學家蘭道就推測孿生素數有無窮多，許多迹象也越來越支持這個猜想。最先想到的方法是使用歐拉在證明素數有無窮多個所采取的方法。設所有的素數的倒數和為：
如果素數是有限個，那麼這個倒數和自然是有限數。但是歐拉證明了這個和是發散的，即是無窮大。由此說明素數有無窮多個。1919年，挪威數學家布隆仿照歐拉的方法，求所有孿生素數的倒數和：
如果也能證明這個和比任何數都大，就證明了孿生素數有無窮多個了。這個想法很好，可是事實卻違背了布隆的意願。他證明了這個倒數和是一個有限數，這個常數就被稱為布隆常數：b=1.90216054…布隆還發現，對于任何一個給定的整數m，都可以找到m個相鄰素數，其中沒有一個孿生素數。n
1920年代，通過使用著名的篩理論（Sieve theory，基于埃拉托斯特尼篩法的理論），挪威的維果·布朗（Viggo Brun）證明了2能表示成兩個最多有9個素數因子的數的差。這個結論已經有些近似于孿生素數猜想了。可以看到，隻要将這個證明中的“最多有9個素數因子的數”改進到“最多有1個素數因子的數”，就可以證明孿生素數猜想了。n
1966年由已故的我國數學家陳景潤利用篩法（sieve method）所取得的。陳景潤證明了：存在無窮多個素數p，使得p+2要麼是素數，要麼是兩個素數的乘積。這個結果與他關于Goldbach猜想的結果很類似。一般認為，由于篩法本身的局限性，這一結果在篩法範圍内很難被超越。n
2013年5月14日，《自然》（Nature）雜志在線報道張益唐證明了“存在無窮多個之差小于7000萬的素數對”，這一研究随即被認為在孿生素數猜想這一終極數論問題上取得了重大突破，甚至有人認為其對學界的影響将超過陳景潤的“1+2”證明。在最新研究中，張益唐在不依賴未經證明推論的前提下，發現存在無窮多個之差小于7000萬的素數對，從而在孿生素數猜想這個重要問題的道路上前進了一大步。n
孿生素數猜想可以弱化為“能不能找到一個正數，使得有無窮多對素數之差小于這個給定正數”，在孿生素數猜想中，這個正數就是2。而張益唐找到的正數是“7000萬”。盡管從2到7000萬是一段很大的距離，《自然》的報道還是稱其為一個“重要的裡程碑”。正如美國聖何塞州立大學數論教授Dan Goldston所言，“從7000萬到2的距離（指猜想中尚未完成的工作）相比于從無窮到7000萬的距離（指張益唐的工作）來說是微不足道的。”n
2013年5月13日，張益唐在美國哈佛大學發表主題演講，介紹了他的這項研究進展。《自然》的報道稱，如果這個結果成立，就是第一次有人正式證明存在無窮多組間距小于定值的素數對。換言之，張益唐将給孿生素數猜想證明開一個真正的“頭”。世界頂級數學期刊《數學年刊》（Annals of Mathematics）将準備接受張益唐作出證明的這篇文章，審稿人還評價“其證明是對的，并且是一流的數學工作”。n
張益唐的論文在5月14号在網絡上公開，兩個星期後的5月28号，這個常數下降到了6000萬。僅僅過了兩天的5月31号，下降到了4200萬。又過了三天的6月2号，則是1300萬。次日，500萬。6月5号，40萬。在英國數學家Tim Gowers等人發起的“Polymath”計劃中，孿生素數問題成為了一個在全球數學工作者中利用網絡進行合作的一個典型。人們不斷的改進張益唐的證明，進一步拉近了與最終解決孿生素數猜想的距離。截至2014年10月9日(2014-10-09)[update],素數對之差被縮小為≤246。從246到2，雖然離孿生質數的桂冠近在咫尺，但道路越來越艱難，誰能摘冠、何時摘冠不得而知。n
估算性
證明孿生素數猜想的另一類結果則是估算性結果。這類結果估算的是相鄰素數之間的最小間隔Δ，更确切地說是：
翻譯成白話文，這個表達式所定義的是兩個相鄰素數之間的間隔，與其中較小的那個素數的對數值之比在整個素數集合中所取的最小值。很顯然，孿生素數猜想如果成立，那麼Δ必須等于0。因為孿生素數猜想表明pn+1-pn=2對無窮多個n成立，而ln(pn)→∞，因此兩者之比的最小值對于孿生素數集合（從而對于整個素數集合也）趨于零。不過要注意，Δ=0隻是孿生素數猜想成立的必要條件，而不是充份條件。換句話說，如果能證明Δ≠0，則孿生素數猜想就不成立；但證明Δ=0卻并不意味着孿生素數猜想就一定成立。
對Δ最簡單的估算來自于素數定理。按照素數定理，對于足夠大的x，在x附近素數出現的幾率為，這表明素數之間的平均間隔為ln(x)（這也正是Δ的表達式中出現ln(pn)的原因），從而給出的其實是相鄰素數之間的間隔與平均間隔的比值，其平均值顯然為1。平均值為1，最小值顯然是小于等于1，因此素數定理給出Δ≤1。
對Δ的進一步估算始于Hardy和Littlewood。1926年，他們運用圓法（circle method）證明了假如廣義Riemann猜想成立，則Δ≤2/3。這一結果後來被Rankin改進為Δ≤3/5。但這兩個結果都有賴于本身尚未得到證明的廣義Riemann猜想，因此隻能算是有條件的結果。1940年，Erdös利用篩法首先給出了一個不帶條件的結果：Δ<1（即把素數定理給出的結果中的等号部分去掉了）。此後Ricci于1955年，Bombieri和Davenport于1966年，Huxley于1977年，分别把這一結果推進到Δ≤15/16，Δ≤(2+√3)/8≈0.4665及Δ≤0.4425。Goldston和Yildirim之前最好的結果是Maier在1986年取得的Δ≤0.2486。
2003年，Goldston和Yildirim發表了一篇論文，聲稱證明了Δ=0。但2003年4月23日，Andrew Granville（University de Montreal）和Kannan Soundararajan（University of Michigan）發現了Goldston和Yildirim證明中的一個錯誤。2005年，他們與Janos Pintz合作完成了證明。此外，若Elliott-Halberstam猜想成立，孿生素數猜想的弱化版本——存在無窮多對相距16的素數——在Δ=0時也會成立。
Δ=0被證明後人們的注意力自然就轉到了研究Δ趨于0的方式上來。孿生素數猜想要求Δ~[log(pn)]（因為pn+1-pn=2對無窮多個n成立)。Goldston和Yildirim的證明所給出的則是Δ~[log(pn)]，兩者之間還有相當距離。但是看過Goldston和Yildirim手稿的一些數學家認為，Goldston和Yildirim所用的方法存在改進的空間。這就是說，他們的方法有可能可以對Δ趨于0的方式作出更強的估計。因此Goldston和Yildirim的證明，其價值不僅僅在于結果本身，更在于它很有可能成為未來一系列研究的起點。
其他方式
1849年，阿爾方·德·波利尼亞克提出了更一般的猜想：對所有自然數k，存在無窮多個素數對(p,p+2k)。k=1的情況就是孿生素數猜想。因此，波利尼亞克有時也被認為是孿生素數猜想的提出者。
1921年，英國數學家哈代和李特爾伍德提出了以下的強化版猜想：設為前N個自然數裡孿生素數的個數。那麼其中的常數是所謂的孿生素數常數，其中的p表示素數。
哈代和李特爾伍德的猜測實際上是存在已久的孿生素數猜想的加強版。孿生素數猜想是指“孿生素數有無窮多個”。這個猜想至今仍未被證明。然而，哈代和李特爾伍德的猜測并不是需要建立在孿生素數猜想成立的前提上。
