定義
向量積又稱“外積”、“叉積”。兩向量a與b的向量積是向量,用c=a×b表示。其長度等于以a、b為邊的平行四邊形的面積(圖中陰影部分),即|c|=|a×b|=|a|·|b|sinθ(0≤θ≤π);方向垂直于與,而且、、三向量成右手系(用右手的拇、食、中三手指分别表示)。n
方程式
兩個向量a和b的叉積寫作a×b(有時也被寫成a∧b,避免和字母x混淆)。向量積可以被定義為:|向量a×向量b|=|a||b|sinθ在這裡θ表示兩向量之間的角夾角(0° ≤ θ ≤ 180°),它位于這兩個矢量所定義的平面上。
這個定義有一個問題,就是同時有兩個單位向量都垂直于和:若滿足垂直的條件,那麼也滿足。
一個簡單的确定滿足“右手定則”的結果向量的方向的方法是這樣的:若坐标系是滿足右手定則的,當右手的四指從a以不超過180度的轉角轉向b時,豎起的大拇指指向是c的方向。
向量積|c|=|a×b|=|a| |b|sin
即c的長度在數值上等于以a,b,夾角為θ組成的平行四邊形的面積。
c的方向垂直于a與b所決定的平面,c的指向按右手規則從a轉向b來确定。
性質
幾何意義
叉積的長度 |a×b| 可以解釋成以a和b為鄰邊的平行四邊形的面積。
混合積 [a b c] = (a×b)·c可以得到以a,b,c為棱的平行六面體的體積。
代數規則
反交換律:
a×b= -b×a
加法的分配律:
a× (b+c) =a×b+a×c
與标量乘法兼容:
(ra) ×b=a× (rb) = r(a×b)
不滿足結合律,但滿足雅可比恒等式:
a× (b×c) +b× (c×a) +c× (a×b) =0
矩陣形式
給定直角坐标系的單位向量i,j,k滿足下列等式:
i×j=k;
j×k=i ;
k×i=j ;
通過這些規則,兩個向量的叉積的坐标可以方便地計算出來,不需要考慮任何角度:設
a= [a1, a2, a3] =a1i+ a2j+ a3k
b= [b1,b2,b3]=b1i+ b2j+ b3k ;
則
a × b= [a2b3-a3b2,a3b1-a1b3, a1b2-a2b1]
上述等式可以寫成矩陣的行列式的形式:
叉積也可以用四元數來表示。注意到上述 i,j,k 之間的叉積滿足四元數的乘法。一般而言,若将向量 [a1, a2, a3] 表示成四元數 a1i + a2j + a3k,兩個向量的叉積可以這樣計算:計算兩個四元數的乘積得到一個四元數,并将這個四元數的實部去掉,即為結果。更多關于四元數乘法,向量運算及其幾何意義請參見四元數與空間旋轉。
高維情形
七維向量的叉積可以通過八元數得到,與上述的四元數方法相同。
七維叉積具有與三維叉積相似的性質:
雙線性性:
x × (ay + bz) = ax × y + bx ×z
(ay + bz) ×x = ay × x + bz × x.
反交換律:
x × y + y ×x = 0
同時與 x 和 y 垂直:
x · (x ×y) =y · (x ×y) = 0
拉格朗日恒等式
|x × y|² = |x|² |y|² - (x ·y)².
不同于三維情形,它并不滿足雅可比恒等式:
x × (y × z) + y × (z × x) + z × (x ×y) ≠ 0
向量應用
在物理學光學和計算機圖形學中,叉積被用于求物體光照相關問題。
求解光照的核心在于求出物體表面法線,而叉積運算保證了隻要已知物體表面的兩個非平行矢量(或者不在同一直線的三個點),就可依靠叉積求得法線。
相關介紹
向量積:在三維坐标系中,從坐标原點O沿X軸取向量OA=a,沿Y軸取向量OB=b.從原點OC垂直與OAB平面,其向量積OC=a*b,其方向由右手法則确定右手拇指指向OA,食指指向OB,中指指向OC。因此可以斷定OC向量積是作用于OAB平面上的,而單一力距隻垂直一軸作杠杆轉動。