定義
從第二項起,每一項都等于前一項加上同一個數d的有限數列或無限數列.又叫算術數列.這個數d稱為等差數列的公差.等差數列可以記作
等差數列從第二項開始每一項是前項和後項的算術平均數.
如果等差數列的公差是正數,則該等差數列是遞增數列;
如果等差數列的公差是負數,則該數列是遞減數列;
如果等差數列的公差等于零,則該數列是常數列.
對于一個數列al,a2,…,an,…,如果它的相鄰兩項之差a2-a1,a3-a2,…,an+1-an,…構成公差不為零的等差數列,則稱數列{an}為二階等差數列. 運用遞歸的方法可以依次定義各階等差數列:對于數列{an},如果{an+1-an}是r階等差數列,則稱數列{an}是r+1階等差數列.二階或二階以上的等差數列稱為高階等差數列.
r階等差數列的通項公式可以用一個關于項數n的r次多項式來表示,反之,通項公式為項數n的r次多項式的數列必為r階等差數列。
高階等差數列的求和方法主要有兩種,一種是将其通項(項數n的r次多項式)表成差分多項式的線性組合從而求和.另一種是利用自然數幂的求和公式,如
r階等差數列的前n項和公式是項數n的r+1次多項式,對r不太高的情況也可用待定系數法來确定.
二階等差數列的通項
式中an是第n項,a1是第一項,n為項數,d1是數列的後項減去緊鄰的前一項所得的第一次差構成的數列的首項,d2是第二次差.例如二階等差數列1,4,9,16,25,36,49,…,通項
二階等差數列錢n項和
例如二階等差數列{n^2}前n項和
{ }是等差數列=常數d，d為等差數列{ }的公差．
相關公式
設{ }是等差數列，d為等差數列{}的公差，則有如下公式：
等差數列的通項公式：
等差數列的一般形式：
等差數列的前n項和公式：
相關性質
(1)常數列：C，C，…，C是公差d=0的等差數列．
(2)等差中項：如果a，A，b成等差數列，則A叫作a與b的等差中項，且A=(a+b)/2．
(3)若Sn是等差數列的前n項和，則Sn， ，…是一個等差數列．
(4)若{ }是等差數列，公差d>0時{ }是遞增數列，d<0時{ }是遞減數列．
(5)在同一數列中，當m+n=p+q時，．
