共點證明
∵l、m分别為線段AB、AC的中垂線
∴AF=BF=CF
∴BC中垂線必過點F
性質
設⊿ABC的外接圓為☉G(R)，角A、B、C的對邊分别為a、b、c，p=(a+b+c)/2．
性質1：（1）銳角三角形的外心在三角形内；
（2）直角三角形的外心在斜邊上，與斜邊中點重合；
（3）鈍角三角形的外心在三角形外.
（4）等邊三角形外心與内心為同一點。
性質2：∠BGC=2∠A
性質3：∠GAC+∠B=90°
證明：如圖2所示延長AG與圓交與P（B、C下面的那個點）
∵A、C、B、P四點共圓
∴∠P=∠B
∵∠P+∠GAC=90°
∴∠GAC+∠B=90°
性質4：點G是平面ABC上一點，點P是平面ABC上任意一點，那麼點G是非直角⊿ABC外心的充要條件是：
（1）向量PG=（(tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB)向量PC）/2(tanA+tanB+tanC).
或（2）向量PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA+(cosB/2sinCsinA)向量PB+(cosC/2sinAsinB)向量PC.
性質5：三角形三條邊的垂直平分線交于一點，該點即為三角形外接圓的圓心.外心到三頂點的距離相等。
性質6：點G是平面ABC上一點，那麼點G是⊿ABC外心的充要條件(向量GA+向量GB)·向量AB=(向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=0
做法
分别作三角形兩邊的中垂線交點計作O以O為圓心OA為半徑畫圓
圓O即為所求
求法
設三角形三邊及其對角分别為a、b、c，∠A、∠B、∠C
正弦定理有1)2R=a/SinA=b/SinB=c/SinC(人教高中版)
由此可得：r=a/（2sinA）=b/（2sinB）=c/（2sinC）
r=abc/（4S△ABC）
三角形外心的向量關系
向量PA的模=向量PB的模=向量PC的模（ABC為三角形三個頂點，P為外心）
