方程式
極坐标方程式
它的極坐标方程為:r=aθ這種螺線的每條臂的距離永遠相等于2πa。
笛卡爾坐标方程式為:
r=10*(1+t)
x=r*cos(t*360)
y=r*sin(t*360)
z=0
阿基米德螺旋線的标準極坐标方程:r(θ)=a+b(θ)
式中:
b-阿基米德螺旋線系數，mm/°，表示每旋轉1度時極徑的增加(或減小)量;
θ-極角，單位為度，表示阿基米德螺旋線轉過的總度數;
a-當θ=0°時的極徑，mm。
改變參數a将改變螺線形狀，b控制螺線間距離，通常其為常量。阿基米德螺線有兩條螺線，一條θ>0，另一條θ<0。兩條螺線在極點處平滑地連接。把其中一條翻轉90°/270°得到其鏡像，就是另一條螺線。
在極坐标系與平面直角坐标系(笛卡爾坐标系)間轉換:
極坐标系中的兩個坐标r和θ可以由下面的公式轉換為直角坐标系下的坐标值(圖一)。由上述二公式，可得到從直角坐标系中x和y兩坐标如何計算出極坐标下的坐标(圖二)。
在x=0的情況下:若y為正數，則θ=90°(π/2radians);若y為負，則θ=270°(3π/2radians).
相關發現
阿基米德（約公元前287～前212），古希臘偉大的數學家、力學家。他公元前287年生于希臘叙拉古附近的一個小村莊。11歲時去埃及，到當時世界著名學術中心、被譽為“智慧之都”的亞曆山大城跟随歐幾裡得的學生柯農學習，以後和亞曆山大的學者保持緊密聯系，因此他算是亞曆山大學派的成員。
公元前240年，阿基米德由埃及回到故鄉叙拉古，并擔任了國王的顧問。從此開始了對科學的全面探索，在物理學、數學等領域取得了舉世矚目的成果，成為古希臘最偉大的科學家之一。後人對阿基米德給以極高的評價，常把他和牛頓、高斯并列為有史以來三個貢獻最大的數學家。
據說，阿基米德螺線最初是由阿基米德的老師柯農(歐幾裡德的弟子)發現的。柯農死後，阿基米德繼續研究，又發現許多重要性質，因而這種螺線就以阿基米德的名字命名了。
阿基米德螺線的畫法
1、阿基米德螺線的幾何畫法
以适當長度(OA)為半徑，畫一圓O；作一射線OA；作一點P于射線OA上；模拟點A沿圓O移動，點P沿射線OA移動；畫出點P的軌迹；隐藏圓O、射線OA&點P；即可得到螺線
2、阿基米德螺線的簡單畫法
有一種最簡單的方法畫出阿基米德螺線，用一根線纏在一個線軸上，在其遊離端綁上一小環，把線軸按在一張紙上，并在小環内套一支鉛筆，用鉛筆拉緊線，并保持線在拉緊狀态，然後在紙上畫出由線軸松開的線的軌迹，就得到了阿基米德螺線。
更多信息
阿基米德螺線，亦稱“等速螺線”。當一點P沿動射線OP一等速率運動的同時，這射線有以等角速度繞點O旋轉，點P的軌迹稱為“阿基米德螺線”。
它的極坐标方程為：r=aθ
這種螺線的每條臂的距離永遠相等于2πa。
笛卡爾坐标
方程式為：
r=10*(1+t)
x=r*cos(t*360)
y=r*sin(t*360)
z=0
一動點沿一直線作等速移動的同時，該直線又繞線上一點O作等角速度旋轉時，動點所走的軌迹就是阿基米德渦線。直線旋轉一周時，動點在直線上移動的距離稱為導程用字母S表示。
阿基米德渦線在凸輪設計、車床卡盤設計、渦旋彈簧、螺紋、蝸杆設計中應用較多。阿基米德渦線畫法如圖：
（1）先以導程S為半徑畫圓，再将圓周及半徑分成相同的n等分，圖中n=8；
（2）以O為圓心，作各同心圓弧于相應數字的半徑相交，得交點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、…Ⅷ各點，即為阿基米德渦線上的點；
（3）依次光滑連接各點，即得阿基米德渦線。
與希皮亞斯割圓曲線相類似，阿基米德螺線不但可以用來三等分角，也可以用來化圓為方。不過，後者也是阿基米德自己完成的。如圖一，螺線P=aθ的極點為O，第一圈終于點A。以O為圓心，a為半徑作圓，則圓周長等于=OA。這樣，阿基米德輕易解決化圓為方問題。
稍遲于阿基米德的阿波羅尼斯用圓柱螺線解決了化圓為方問題，如圖4-2-27所示。設圓O是一直圓柱之底面，A是螺旋線之起始點。螺旋線在其上任一點P處的切線交底所在平面于T。則PT在底平面上的投影BT與AB相等。因此，當P點恰好為A點所在母線上離A最近的點時，TB與圓周長相等。從而化圓為方問題得以解決。
在阿波羅尼斯之後，機械師卡普斯（Carpus）也解過化圓為方問題。他所用的“雙重運動曲線”今已失傳，據數學史家唐内裡（P.Tannery,1843～1904）推測，它是擺線，亦即卡普斯是通過将圓沿直線滾動一周獲得圓周長的（圖二）。
文藝複興時期，意大利著名藝術大師達·芬奇（1452～1519）為化圓為方問題所吸引，并獲巧妙方法。如圖4-2-29，設圓半徑為R，以圓為底作高為R/2的圓柱，然後将圓柱在平面上滾動一周，得矩形。将矩形化方，即完成化圓為方。
以上我們看到，希臘人很早就意識到（但未能證明）三大難題不能以尺規在有限步驟内完成。但它們看似如此簡單，以至希臘人未能抵制誘惑；他們不斷尋求尺規以外的方法，結果導緻圓錐曲線、割圓曲線、蚌線、蔓葉線和螺線等高次曲線和超越曲線的相繼發現。三大難題使一代又一代希臘數學家顯示了非凡的聰明才智，并深刻影響了希臘幾何的整個發展過程。
三大難題的魅力并未随希臘文明的淪亡而消失。事實上，從希臘以後特别是歐洲文藝複興時期以來直到本世紀，對于它們的研究從未停止過。
1837年，年輕的法國數學家萬采爾（P.L.Wantzel，1814～1848）證明了三等分角和倍立方尺規作圖之不可能性。1882年，德國數學家林德曼（C.Lindemann,1852～1938）證明了π的超越性，從而證明了化圓為方的尺規作圖之不可能性。以後數學家們又還建立了兩條一般定理：
定理1：任何可用尺規由已知單位長度作出的量必為代數數；
定理2：若一有理系數三次方程沒有有理根，則它的根不可能用尺規由一給定單位長度作出。
工程套用：阿基米德螺旋泵
阿基米德螺旋泵的工作原理是當電動機帶動泵軸轉動時,螺杆一方面繞本身的軸線旋轉,另一方面它又沿襯套内表面滾動,于是形成泵的密封腔室。螺杆每轉一周,密封腔内的液體向前推進一個螺距,随着螺杆的連續轉動,液體螺旋形方式從一個密封腔壓向另一個密封腔,最後擠出泵體。
螺杆泵是一種新型的輸送液體的機械,具有結構簡單、工作安全可靠、使用維修方便、出液連續均勻、壓力穩定等優點。
