費馬定理:數學定理-中文百科頻道

發展簡史

猜想提出

大約在1637年左右，法國學者費馬在閱讀丢番圖（Diophatus）《算術》拉丁文譯本時，曾在第11卷第8命題旁寫道：“将一個立方數分成兩個立方數之和，或一個四次幂分成兩個四次幂之和，或者一般地将一個高于二次的幂分成兩個同次幂之和，這是不可能的。關于此，我确信已發現了一種美妙的證法，可惜這裡空白的地方太小，寫不下。”

（拉丁文原文: "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet."）

由于費馬沒有寫下證明，而他的其它猜想對數學貢獻良多，由此激發了許多數學家對這一猜想的興趣。數學家們的有關工作豐富了數論的内容，涉及許多數學手段，推動了數論的發展。

接力證明

1753年瑞士著名數學家歐拉，在寫給哥德巴赫的信中說，他證明了時的費馬猜想，1770年其證明發表在《代數指南》一書中，方法是“無限下降法”和形如數系的唯一因子分解定理，這一方法也被後人多次引用。

1816年巴黎科學院把費馬猜想轉化簡化歸結為n是奇素數的情況，認為費馬猜想應該成立，并稱之為費馬大定理（以區别費馬關于同餘的小定理），并為證明者設立大獎和獎章，費馬大定理之謎從此進一步風靡全球。

費馬自己證明了的情形。

十九世紀初法國自學成才的女數學家熱爾曼證明了當都是素數時費馬大定理的反例至少有一個是整倍數。在此基礎上，1825年德國數學家狄利克雷和法國數學家勒讓德分别獨立證明費馬大定理在時成立，用的是歐拉所用方法的延伸，但避開了唯一因子分解定理。

1839年，法國數學家拉梅對熱爾曼方法作了進一步改進，并證明了的情形，他的證明使用了跟7本身結合得很緊密的巧妙工具，隻是難以推廣到的情形；于是，他又在1847年提出了“分圓整數”法來證明，但沒有成功。

1844年，庫默爾提出了“理想數”概念，他證明了：對于所有小于100的素指數n，費馬大定理成立，此一研究告一階段。但對一般情況，在猜想提出的頭二百年内數學家們仍對費馬大定理一籌莫展。

1847年，巴黎科學院上演戲劇性一幕，當時著名數學家拉梅和柯西先後宣布自己基本證明費馬大定理，拉梅還聲稱證明引用了劉維爾複數系中的唯一因子分解定理，劉維爾則說這一定理源自歐拉和高斯的思想。大數學家都被扯入其中，似乎結論十分可靠。就在此時劉維爾宣讀了德國數學家庫默爾的來信，明确指出證明中的複數系的唯一因子分解定理并不普遍成立，于是拉梅和柯西的證明都是錯的。

大約在1850年前後，高斯的學生、德國數學家庫默爾看到唯一因子分解是否成立是歐拉、熱爾曼創立的試圖證明費馬大定理的方法關鍵，于是他創立了一種“理想數環”理論，據說這一思想也受其老師高斯啟發，高斯表面上聲稱對費馬大定理不感興趣，實際上對n=7久思不解。學生庫默爾運用獨創的“理想素數”理論，一下子證明了100以内除37、59、67以外的所有奇數費馬大定理都成立，使證明問題取得了第一次重大突破。

庫默爾之後近半個世紀，費馬大定理證明都停滞不前，直到二十世紀前期大數學家勒貝格向巴黎科學院提交了一個費馬大定理的證明論稿，由于勒貝格當時的權威聲望，大家都以為這下問題解決了，但經過廣泛傳閱其證明稿件，人們遺憾地發現大數學家的分析證明還是錯的。

懸賞求證

1908年，哥廷根皇家科學協會公布沃爾夫斯凱爾獎：凡在2007年9月13日前解決費馬大定理者将獲得十萬馬克獎勵。提供該獎者沃爾夫斯凱爾是德國實業家，年輕時曾為情所困決意在午夜自殺，但在臨自殺前讀到庫默爾論述柯西和拉梅證明費馬定理的錯誤讓他情不自禁地計算到天明，設定自殺時間過了，他也放不下問題的證明，數學讓他重生并後來成為大富豪，1908年這位富豪去世前，遺囑将其一半遺産捐贈設獎，以謝其救命之恩。

從此世界上每年都會有成千上萬人宣稱證明了費馬大定理，但全部都是錯的，一些數學權威機構，不得不預寫證明否定書。

莫德爾猜想

1922年，英國數學家莫德爾提出一個著名猜想，人們叫做莫德爾猜想．按其最初形式，這個猜想是說，任一不可約、有理系數的二元多項式，當它的“虧格”大于或等于2時，最多隻有有限個解．記這個多項式為，猜想便表示：最多存在有限對數偶，使得。後來，人們把猜想擴充到定義在任意數域上的多項式，并且随着抽象代數幾何的出現，又重新用代數曲線來叙述這個猜想了。

而費馬多項式沒有奇點，其虧格為。當大于等于4時，費馬多項式滿足猜想的條件。因此，如果莫德爾猜想成立，那麼費馬大定理中的方程本質上最多有有限多個整數解。

二戰後随着計算機的出現，大量的計算已不再成為問題。借助計算機的幫助，數學家們對500以内，然後在1000以内，再是10000以内的值證明了費馬大定理，到80年代，這個範圍提高到25000，然後是400萬以内。

1983年，德國數學家法爾廷斯證明了莫德爾猜想，從而翻開了費馬大定理研究的新篇章．法爾廷斯也因此獲得1986年菲爾茲獎。

谷山豐猜想

1955年，日本數學家谷山豐首先猜測橢圓曲線與另一類數學家們了解更多的曲線——模曲線之間存在着某種聯系；谷山的猜測後經韋依和志村五郎進一步精确化而形成了所謂“谷山—志村猜想”，這個猜想說明了：有理數域上的橢圓曲線都是模曲線。這個很抽象的猜想使一些學者搞不明白，但它又使“費馬大定理”的證明向前邁進了一步。

1958年英國數學家Birch和Swinnerton--Dyer構造了橢圓曲線的函數，他們對該函數在處的零點與橢圓曲線E上的有理點關系給出了一個簡稱猜想。

1984年，德國數學家弗雷在德國小城奧伯沃爾法赫的一次數論研讨會上宣稱：假如費馬大定理不成立，則由費馬方程可構造一個橢圓曲線，它不可被模形式化（一個命題：假定“費馬大定理”不成立，即存在一組非零整數

使得，那麼用這組數構造出的形如

乘以

的橢圓曲線，不可能是模曲線。），也就是說谷山—志村猜想将不成立。但弗雷構造的所謂“弗雷曲線”不可模形式化也說不清具體證明細節，因此也隻是猜想，被稱為“弗雷命題”，弗雷命題如得證，費馬大定理就與谷山—志村猜想等價。

1986年美國加州大學伯克利分校的肯·裡貝特教授，為了證明弗雷命題已經奮鬥了十八個月，曾親耳聽到弗雷當年演講的裡貝特深信自己能證明弗雷命題，但久攻未克，這年夏天哈佛大學教授巴裡·梅袓爾來伯克利訪問并參加國際數學家大會，有一次裡貝特與他一起喝咖啡，便研讨起弗雷命題，梅袓爾的一個提醒讓裡貝特恍然大悟，裡貝特随即完成了弗雷命題的證明，并當即在這屆國際數學家大會内外傳開。世界數學界為之興奮。

證明完成

1986年，英國數學家安德魯·懷爾斯聽到裡貝特證明弗雷命題後，感到攻克費馬大定理到了最後攻關階段，并且這剛好是他的研究領域，他開始放棄所有其它活動，精心梳理有關領域的基本理論，為此準備了一年半時間把橢圓曲線與模形式通過伽羅瓦表示方法“排隊”。接下來的要将兩種“排隊”序列對應配對，這一步他兩年無進展。此時他讀博時學的岩澤理論一度取得實效，到1991年他之前的導師科茨告訴他有位叫弗萊切的學生用蘇聯數學家科利瓦金的方法研究橢圓曲線，這一方法使其工作有重大進展。

1993年6月在劍橋牛頓學院要舉行一個名為“L函數和算術”的學術會議，組織者之一正是懷爾斯的博士導師科茨，于是在1993年6月21日到23日懷爾斯被特許在該學術會上以“模形式、橢圓曲線與伽羅瓦表示”為題，分三次作了演講。聽完演講人們意識到谷山—志村猜想已經證明。由此把法爾廷斯證明的莫德爾猜想、肯·裡貝特證明的弗雷命題和懷爾斯證明的谷山—志村猜想聯合起來就可說明費馬大定理成立。其實這三個猜想每一個都非常困難，問題是懷爾斯的最後證明，他變為完成費馬大定理證明的最後一棒。

1993年6月23日從劍橋牛頓學院傳出費馬大定理被證明之後，世界媒體鋪天蓋地般報道了該喜訊。

但此刻數學界反倒十分冷靜，明确指出論證還需仔細審核，因為曆史上曾多少次宣布證明但後來被查證錯誤。懷爾斯的證明被分為6個部分分别由6人審查，其中由凱茲負責的第三部分查出關于歐拉系的構造有嚴重缺陷，使科利瓦金—弗萊切方法不能對它适用，懷爾斯對此無能為力，1993年12月懷爾斯公開承認證明有問題，但表示很快會補正。一時間懷爾斯的證明被認為是曆史上拉梅、柯西、勒貝格、裡貝特（裡貝特也曾稱證明了谷山—志村猜想）錯誤證明的又一例子。1994年1月懷爾斯邀請劍橋大學講師理查德·泰勒到普林斯頓幫他完善科利瓦金—弗萊切方法解決問題，但整整8個月過去，問題沒有解決。泰勒準備再過一個月後回劍橋，然後懷爾斯正式公布手稿，承認證明失敗，1994年9月19日懷爾斯想自己證明失敗原因該怎麼寫，回顧自己是先用岩澤理論未能突破而後用科利瓦金—弗萊切方法，又對該法一類特殊歐拉系出了問題，這樣一想，突然又想到何不再用岩澤理論結合科利瓦金—弗萊切方法試試？問題解法就是這樣，懷爾斯絕處逢生，修補了漏洞。1994年10月25日11點4分11秒，懷爾斯通過他以前的學生、美國俄亥俄州立大學教授卡爾·魯賓向世界數學界發送了費馬大定理的完整證明郵件，包括一篇長文“模形橢圓曲線和費馬大定理”，作者安德魯·懷爾斯。另一篇短文“某些赫克代數的環理論性質”作者理查德·泰勒和安德魯·懷爾斯。至此費馬大定理得證，英國數學家懷爾斯被認為解決了費馬大定律，成為轟動全球的重大新聞，但仍有學者對此反對。

1995年，他們把證明過程發表在《數學年刊》（Annals of Mathematics）第141卷上，證明過程包括兩篇文章，共130頁，占滿了全卷，題目分别為Modular elliptic curves and Fermat’s Last Theorem （模形橢圓曲線和費馬大定理）以及Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras（某些赫克代數的環理論性質）。