概述
矩陣的秩是反映矩陣固有特性的一個重要概念。
設A是一組向量，定義A的最大無關組中向量的個數為A的秩。
定義1：在m×n矩陣A中，任意決定k行和k列交叉點上的元素構成A的一個k階子矩陣，此子矩陣的行列式，稱為A的一個k階子式。
例如，在階梯形矩陣中，選定1、3行和3、4列，它們交叉點上的元素所組成的2階子矩陣的行列式就是矩陣A的一個2階子式。
定義2：A=(aij)m×n的不為零的子式的最大階數稱為矩陣A的秩，記作rA，或rankA或R(A)。
特别規定零矩陣的秩為零。
定理
設A1，A2，… An是n階方陣，則秩 (A1)+秩 (A2)+… + 秩 (An)≤ (t一1)n+秩 (A1…An)
由定義直接可得n階可逆矩陣的秩為n，通常又将可逆矩陣稱為滿秩矩陣, det(A)¹ 0；不滿秩矩陣就是奇異矩陣，det(A)=0。
由行列式的性質知，矩陣A的轉置AT的秩與A的秩是一樣的。
變化規律
1、轉置後秩不變
2、r(A)≤min(m,n)，A是m*n型矩陣
3、r(kA)=r(A)，k不等于0
4、r(A)=0 <=> A=0
5、r(A+B)≤r(A)+r(B)
6、r(AB)≤min(r(A),r(B))
7、r(A)+r(B)-n≤r(AB)
特别的，A：m*n，B：n*s，AB=0 -> r(A)+r(B)≤n
8、P，Q為可逆矩陣，則 r(PAQ)=r(A)
9、若Ax=B有解，則r(A)=r(A,B)
10、若A~B，則人r(A)=r(B)
11、若所有n階子式為零，則r(A)=0
12、A中若有S階非零子式，則r(A)≥S
