正弦定理
定理概述
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
正弦定理(Sine theorem)（1）已知三角形的兩角與一邊，解三角形
（2）已知三角形的兩邊和其中一邊所對的角，解三角形
（3）運用a：b：c=sinA：sinB：sinC解決角之間的轉換關系
直角三角形的一個銳角的對邊與斜邊的比叫做這個角的正弦。
證明
步驟1
在銳角△ABC中，設BC=a，AC=b，AB=c。作CH⊥AB垂足為點H
CH=a·sinB
CH=b·sinA
∴a·sinB=b·sinA
得到
a/sinA=b/sinB
同理，在△ABC中，餘弦
b/sinB=c/sinC
步驟2.
證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：
如圖，任意三角形ABC,作ABC的外接圓O.
作直徑BD交⊙O于D.
連接DA.
因為在同圓或等圓中直徑所對的圓周角是直角，所以∠DAB=90度
因為在同圓或等圓中同弧所對的圓周角相等，所以∠D等于∠C.
所以c/sinC=c/sinD=BD=2R
類似可證其餘兩個等式。
餘弦定理
概述
餘弦定理
是揭示三角形邊角關系的重要定理，直接運用它可解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個邊求角的問題，若對餘弦定理加以變形并适當移于其它知識，則使用起來更為方便、靈活。
直角三角形的一個銳角的鄰邊和斜邊的比值叫這個銳角的餘弦值
性質
對于任意三角形，任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的餘弦的兩倍積，若三邊為a，b，c 三角為A，B，C ，則滿足性質——
S△ABC=1/2absinC
S△ABC=1/2bcsinA
S△ABC=1/2acsinB
（物理力學方面的平行四邊形定則中也會用到）
第一餘弦定理（任意三角形射影定理）
設△ABC的三邊是a、b、c，它們所對的角分别是A、B、C，則有
a=b·cos C+c·cos B， b=c·cos A+a·cos C， c=a·cos B+b·cos A。
證明
平面向量證法(覺得這個方法不是很好，平面的向量的公式a·b=|a||b|Cosθ本來還是由餘弦定理得出來的，怎麼又能反過來證明餘弦定理）∵如圖，有a+b=c (平行四邊形定則：兩個鄰邊之間的對角線代表兩個鄰邊大小）
∴c·c=(a+b)·(a+b)
∴c²=a·a+2a·b+b·b∴c²=a²+b²+2|a||b|Cos(π-θ)
（以上粗體字符表示向量）
又∵Cos(π-θ)=-Cosθ
∴c²=a²+b²-2|a||b|Cosθ（注意：這裡用到了三角函數公式）
再拆開，得c²=a²+b²-2abcosC
即 cosC=(a2+b2-c2)/2*a*b
同理可證其他，而下面的cosC=(c2-b2-a2)/2ab就是将cosC移到左邊表示一下。
平面幾何證法
在任意△ABC中
做AD⊥BC.
∠C所對的邊為c，∠B所對的邊為b，∠A所對的邊為a
則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c
根據勾股定理可得：
AC²=AD²+DC²
b²=(sinB c)²+(a-cosB c)²
b²=(sinB*c)²+a²-2ac cosB+(cosB)²c²
b²=(sinB2+cosB2) c²-2ac cosB+a²
b²=c²+a²-2ac cosB
cosB=(c²+a²-b²)/2ac
相關拓展
随着科技日新月異和教育改革的深化,高中數學對人類的日常生活影響越來越大,在高考中也越來越重視對于實際應用的考查。其中,解三角形應用更是十分廣泛,不僅可以解決平面幾何問題,還可以應用于實際的測量中,這些測量往往會在航行、航測和工程技術等領域起着至關重要的地位,本文就正餘弦定理的應用進行探讨。
