數學物理方法

内容簡介

《數學物理方法》主要介紹了三類典型數學物理方程定解問題的多種求解方法。全書重點講解了分離變量法、行波法和Green函數法三種基本的解析方法，及差分法和有限元方法兩類數值算法，并詳細介紹了求解離散方程——線性方程組的直接解法和叠代解法。全書共分為八章，第一章是方程的導出和定解問題；第二章一第四章分别介紹了求解數學物理方程定解問題的行波法、分離變量法和Green函數法；第五章和第六章是關于差分法和有限元方法的介紹；第七、第八章分别介紹了求解線性方程組的直接法和叠代法。書中配有形式多樣的習題，并附有答案和提示。《數學物理方法》内容豐富完整，嚴密性與實用性并重，具有深入淺出、清晰易懂的特點，符合21世紀人才培養的目标，可作為理工科高等院校相關專業研究生、本科生的教材或參考書目使用．也可供相關工程技術人員參考。

圖書目錄

第1章矢量分析與場論初步

1.1矢量函數及其導數與積分

1.1.1矢量函數

1.1.2矢量函數的極限與連續性

1.1.3矢量函數的導數和積分

1.2梯度、散度與旋度在正交曲線坐标系中的表達式

1.2.1直角坐标系中的“三度”及Hamilton算子

1.2.2正交曲線坐标系中的“三度”

1.2.3“三度”的運算公式

1.3正交曲線坐标系中的Laplace算符、Green第一和第二公式

1.4算子方程

第2章數學物理定解問題

2.1基本方程的建立

2.1.1均勻弦的微小橫振動

2.1.2均勻膜的微小橫振動

2.1.3傳輸線方程

2.1.4電磁場方程

2.1.5熱傳導方程

2.2定解條件

2.2.1初始條件

2.2.2邊界條件

2.3定解問題的提法

2.4二階線性偏微分方程的分類與化簡

2.4.1兩個自變量方程的分類與化簡

2.4.2常系數偏微分方程的進一步簡化

2.4.3線性偏微分方程的疊加原理

第3章分離變量法

3.1（1+1）維齊次方程的分離變量法

3.1.1有界弦的自由振動

3.1.2有限長杆上的熱傳導

3.22維Laplace方程的定解問題

3.3高維Fourier級數及其在高維定解問題中的應用

3.4非齊次方程的解法

3.4.1固有函數法

3.4.2沖量法

3.4.3特解法

3.5非齊次邊界條件的處理

第4章二階常微分方程的級數解法本征值問題

4.1二階常微分方程系數與解的關系

4.2二階常微分方程的級數解法

4.2.1常點鄰域内的級數解法

4.2.2正則奇點鄰域内的級數解法

4.3Legendre方程的級數解

4.4Bessel方程的級數解

4.5Sturm?Liouville本征值問題

第5章特殊函數（一）Legendre 多項式

5.1正交曲線坐标系中的分離變量法

5.1.1Laplace方程

5.1.2Helmholtz方程

5.2Legendre 多項式及其性質

5.2.1Legendre多項式的導出

5.2.2Legendre多項式的性質

5.3Legendre多項式的應用

5.4一般球函數

5.4.1關聯Legendre函數

5.4.2球函數

第6章特殊函數（二）Bessel函數

6.1Bessel函數的性質及其應用

6.1.1柱函數

6.1.2Bessel函數的性質

6.1.3修正Bessel函數

6.1.4Bessel函數的應用

6.2球Bessel函數

6.3柱面波與球面波

6.3.1柱面波

6.3.2球面波

6.4可化為Bessel方程的方程

6.5其他特殊函數方程簡介

6.5.1Hermite多項式

6.5.2Laguerre多項式

第7章行波法與積分變換法

7.1一維波動方程的d′Alembert公式

7.2三維波動方程的Poisson公式

7.3Fourier積分變換法求定解問題

7.3.1預備知識——Fourier變換及性質

7.3.2Fourier變換法

7.4Laplace變換法解定解問題

7.4.1Laplace變換及其性質

7.4.2Laplace變換法

第8章Green函數法

8.1引言

8.2Poisson方程的邊值問題

8.2.1Green公式

8.2.2解的積分形式——Green函數法

8.2.3Green函數關于源點和場點是對稱的

8.3Green函數的一般求法

8.3.1無界區域的Green函數

8.3.2用本征函數展開法求邊值問題的Green函數

8.4用電像法求某些特殊區域的Dirichlet?Green函數

8.4.1Poisson方程的Dirichlet?Green函數及其物理意義

8.4.2用電像法求Green函數

*8.5含時間的定解問題的Green函數

第9章變分法

9.1泛函和泛函的極值

9.1.1泛函

9.1.2泛函的極值與泛函的變分

9.1.3泛函取極值的必要條件——Euler方程

9.1.4複雜泛函的Euler方程

9.1.5泛函的條件極值問題

9.1.6求泛函極值的直接方法——Ritz方法

9.2用變分法解數學物理方程

9.2.1本征值問題和變分問題的關系

9.2.2通過求泛函的極值來求本征值

9.2.3邊值問題與變分問題的關系

*9.3與波導相關的變分原理及近似計算

9.3.1共振頻率的變分原理

9.3.2波導的傳播常數γ的變分原理

9.3.3任意截面的柱形波導管截止頻率的近似計算

第10章積分方程的一般性質和解法

10.1積分方程的概念與分類

10.2積分方程的叠代解法

10.2.1第二類Volterra方程的叠代解法

10.2.2第一類Volterra方程的叠代解法

10.2.3第二類Fredholm方程的叠代解法

10.2.4疊核、預解核

10.3退化核方程的求解

10.4弱奇異核的Abel方程的解法

10.5對稱核的Fredholm方程

10.6微分方程與積分方程的聯系

10.6.1二階線性常微分方程與Volterra方程的聯系

10.6.2微分方程的本征值問題與對稱核積分方程的聯系

參考文獻