推導
用第n+1項除以第n項,整個的絕對值,小于1,解出x(或x-a這決定于你級數的展開)的絕對值小于的值就是收斂半徑收斂域就是求使其收斂的所有的點構成的區域。
比如收斂半徑是r,求收斂域,就是判斷x(或x-a)的對值r時必發散,所以隻要判斷=r時的兩個點是否收斂即可,如過有收斂就把該點并到
計算
基本内容
根據達朗貝爾審斂法，收斂半徑R滿足：如果幂級數滿足，則：
根據根值審斂法，則有柯西-阿達馬公式：
或者。複分析中的收斂半徑
将一個收斂半徑是正數的幂級數的變量取為複數，就可以定義一個全純函數。收斂半徑可以被如下定理刻畫：
一個中心為a的幂級數f的收斂半徑R等于a與離a最近的使得函數不能用幂級數方式定義的點的距離。
到a的距離嚴格小于R的所有點組成的集合稱為收斂圓盤。
最近點的取法是在整個複平面中，而不僅僅是在實軸上，即使中心和系數都是實數時也是如此。例如：函數
沒有複根。它在零處的泰勒展開為：
運用達朗貝爾審斂法可以得到它的收斂半徑為1。與此相應的，函數f(z)在±i存在奇點，其與原點0的距離是1。
簡單的例子
三角函數中的正切函數可以被表達成幂級數：
運用審斂法可以知道收斂半徑為1。
一個更複雜的例子
考慮如下幂級數展開：
其中有理數Bn是所謂的伯努利數。對于上述幂級數，很難運用審斂法來計算收斂半徑，但運用上面提到的複域中的準則就可以很快得到結果：當z=0時，函數沒有奇性，因為是可去奇點。僅有的不可去奇點是其他使分母為零的取值，即使得
e1=0
的複數z。設z=x+iy，那麼
要使之等于1，則虛部必須為零。于是有y=kπ，其中。同時得到x=0。回代後發現k隻能為偶數，于是使得分母為零的z為2kπi的形式，其中。
離原點最近距離為2π，于是收斂半徑為2π。
收斂圓上的斂散性
如果幂級數在a附近可展，并且收斂半徑為r，那麼所有滿足|za|=r的點的集合（收斂圓盤的邊界）是一個圓，稱為收斂圓。幂級數在收斂圓上可能收斂也可能發散。即使幂級數在收斂圓上收斂，也不一定絕對收斂。
例1:函數(z)=(1z)在z=0處展開的幂級數收斂半徑為1，并在收斂圓上的所有點處發散。
例2:函數g(z)=ln(1z)在z=0處展開的幂級數收斂半徑為1，在z=1處發散但除此之外，在收斂圓上所有其它點上都收斂。例1中的函數(z)是-g(z)的複導數。
例3:幂級數
的收斂半徑是1并在整個收斂圓上收斂。設h(z)是這個級數對應的函數，那麼h(z)是例2中的g(z)除以z後的導數。h(z)是雙對數函數。
例4:幂級數
的收斂半徑是1并在整個收斂圓上一緻收斂，但是并不在收斂圓上絕對收斂。
