定義
被稱為均值不等式。即調和平均數不超過幾何平均數，幾何平均數不超過算術平均數，算術平均數不超過平方平均數，簡記為“調幾算方”。均值不等式也可以看成是“對于若幹個非負實數，它們的算術平均不小于幾何平均”的推論。
其中：
，被稱為調和平均數。
，被稱為幾何平均數。
，被稱為算術平均數。
，被稱為平方平均數。
證明
關于均值不等式的證明方法有很多，數學歸納法（第一數學歸納法或反向歸納法）、拉格朗日乘數法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以證明均值不等式，在這裡簡要介紹數學歸納法的證明方法：
（注：在此證明的，是對n維形式的均值不等式的證明方法。）
用數學歸納法證明，需要一個輔助結論。
引理：設A≥0，B≥0，則，且僅當B=0時取等号。
注：引理的正确性較明顯，條件A≥0，B≥0可以弱化為A≥0，A+B≥0，有興趣的同學可以想想如何證明（用數學歸納法）（或用二項展開公式更為簡便）。
原題等價于：，當且僅當時取等号。
當n=2時易證；
假設當n=k時命題成立，即，當且僅當時取等号。那麼當n=k+1時，不妨設是中最大者，則
設，
，根據引理
，當且僅當且時，即時取等号。
利用琴生不等式法也可以很簡單地證明均值不等式，同時還有柯西歸納法等等方法。
推廣
一般形式
設函數；。
是上的連續單調遞增函數。時，。
這個結論被稱作幂平均不等式
可以注意到僅是上述不等式的特殊情形。
特例
⑴對實數a，b，有（當且僅當a=b時取“=”号），（當且僅當a=-b時取“=”号）
⑵對非負實數a，b，有，即
⑶對非負實數a，b，有
⑷對非負實數a，b，a≥b，有
⑸對非負實數a，b，有
⑹對實數a，b，有
⑺對實數a，b，c，有
⑻對非負數a，b，有
⑼對非負數a，b，c，有
在幾個特例中，最著名的當屬算術—幾何均值不等式（AM-GM不等式）：
當n=2時，上式即：
當且僅當時，等号成立。
根據均值不等式的簡化，有一個簡單結論，即。
