三門問題:數學遊戲問題-中文百科頻道

問題與解答

問題

以下是蒙提霍爾問題的一個著名的叙述，來自 Craig F. Whitaker 于1990年寄給《展示雜志》（Parade Magazine）瑪莉蓮·莎凡（Marilyn vos Savant）專欄的信件：

假設你正在參加一個遊戲節目，你被要求在三扇門中選擇一扇：其中一扇後面有一輛車；其餘兩扇後面則是山羊。你選擇了一道門，假設是一号門，然後知道門後面有什麼的主持人，開啟了另一扇後面有山羊的門，假設是三号門。他然後問你：“你想選擇二号門嗎？”轉換你的選擇對你來說是一種優勢嗎？

以上叙述是對 Steve Selvin 于1975年2月寄給 American statistician 雜志的叙述的改編版本。如上文所述，蒙提霍爾問題是遊戲節目環節的一個引申；蒙提·霍爾在節目中的确會開啟一扇錯誤的門，以增加刺激感，但不會容許玩者更改他們的選擇。如蒙提·霍爾寄給 Selvin 的信中所寫：

如果你上過我的節目的話，你會覺得遊戲很快—選定以後就沒有交換的機會。

Selvin 在随後寄給 American Statistician 的信件中(1975年8月)首次使用了“蒙提霍爾問題”這個名稱。

一個實質上完全相同的問題于1959年以“三囚犯問題”（three prisoners problem）的形式出現在馬丁·葛登能（Martin Gardner）的《數學遊戲》專欄中。葛登能版本的選擇過程叙述得十分明确，避免了《展示雜志》版本裡隐含的前提條件。

這條問題的首次出現，可能是在1889年約瑟夫·貝特朗所著的 Calcul des probabilités 一書中。在這本書中，這條問題被稱為“貝特朗箱子悖論”（Bertrand's Box Paradox）。

Mueser 和 Granberg 透過在主持人的行為身上加上明确的限制條件，提出了對這個問題的一種不含糊的陳述︰

參賽者在三扇門中挑選一扇。他并不知道内裡有什麼。

主持人知道每扇門後面有什麼。

主持人必須開啟剩下的其中一扇門，并且必須提供換門的機會。

主持人永遠都會挑一扇有山羊的門。

如果參賽者挑了一扇有山羊的門，主持人必須挑另一扇有山羊的門。

如果參賽者挑了一扇有汽車的門，主持人随機在另外兩扇門中挑一扇有山羊的門。

參賽者會被問是否保持他的原來選擇，還是轉而選擇剩下的那一道門。

轉換選擇可以增加參賽者的機會嗎？

解法一

問題的答案是可以：當參賽者轉向另一扇門而不是繼續維持原先的選擇時，赢得汽車的機會将會加倍。

有三種可能的情況，全部都有相等的可能性(1/3)︰

參賽者挑山羊一号，主持人挑山羊二号。轉換将赢得汽車。

參賽者挑山羊二号，主持人挑山羊一号。轉換将赢得汽車。

參賽者挑汽車，主持人挑兩頭山羊的任何一頭。轉換将失敗。

在頭兩種情況，參賽者可以通過轉換選擇而赢得汽車。第三種情況是唯一一種參賽者通過保持原來選擇而赢的情況。因為三種情況中有兩種是通過轉換選擇而赢的，所以通過轉換選擇而赢的概率是2/3。

如果沒有最初選擇，或者如果主持人随便打開一扇門，又或者如果主持人隻會在參賽者作出某些選擇時才會問是否轉換選擇的話，問題都将會變得不一樣。例如，如果主持人先從兩隻山羊中剔除其中一隻，然後才叫參賽者作出選擇的話，選中的機會将會是1/2。

解法二

另一種解答是假設你永遠都會轉換選擇，這時赢的唯一可能性就是選一扇沒有車的門，因為主持人其後必定會開啟另外一扇有山羊的門，消除了轉換選擇後選到另外一隻羊的可能性。因為門的總數是三扇，有山羊的門的總數是兩扇，所以轉換選擇而赢得汽車的概率是2/3，與初次選擇時選中有山羊的門的概率一樣。

補充說明

第一次選的空門（概率66.6%），之後主持人開另一個空門，換門，得到汽車

第一次選的汽車（概率33.3%），之後主持人開另一個空門，不換門，得到汽車

這裡影響到結果的概率問題隻發生在第一次選門上，如果條件如上設置，當一開始的門選定後，事件的結果也就決定了，所以這裡不存在之後主持人是選擇1号空門，還是2号空門的問題，所以在做概率計算是不考慮主持人的選擇。如果也要考慮主持人的話：

第一次選的空門1（概率33.3%），之後主持人開另一個空門，換門，得到汽車。事件總概率33.3%

第一次選的空門2（概率33.3%），之後主持人開另一個空門，換門，得到汽車。事件總概率33.3%

第一次選的汽車（概率33.3%），之後主持人開另一個空門1（概率50%），換門，得到汽車這個事件總概率 33.3%*50%=16.65%

第一次選的汽車（概率33.3%），之後主持人開另一個空門2（概率50%），換門，得到汽車這個事件總概率 33.3%*50%=16.65%

主持人選1号空門還是2号空門打開，這裡有個主持人的選擇概率，我假設的是主持人随機選擇（抽簽或者随意），所以各給了50%的概率，如果主持人就是喜歡1号空門，必開1号，那麼也就成了1号（100%），2号（0%）了，最後結果并不影響。

所以開始選中汽車，最後換門不得獎的概率是33.3%，開始選中空門，換門最後得獎的概率是66.6%

回響

對于回答“蒙提霍爾問題”（“Monty Hall dilemma”），瑪麗蓮·沃斯·莎凡特的專欄在20世紀90年代早期的美國卷起了一股旋風。這道題出現在霍爾主持的“讓我們做筆交易”遊戲秀中，參賽者面臨着極其艱難的抉擇。問題是在1990年9月9日由馬裡蘭州哥倫比亞的克雷格·惠特克(Craig Whitaker)提出的。“親愛的瑪麗蓮，”惠特克寫道。“假如你在遊戲秀現場，你有三扇門可供選擇。其中一扇後面是一輛汽車，另外兩輛後面各是一隻山羊。你選擇了一扇門，假定為門1，然後主持人（他知道門後面是什麼）打開了另一扇門，假定為門3，後面是一隻山羊。他問你‘你想選門2嗎？’這時候，你如果改選門2是否更有優勢？”

莎凡特的回答是改選會更有優勢，這在全國引起了激烈的争議：人們寄來了數千封抱怨信，很多寄信人是科學老師或學者。一位來自佛羅裡達大學的讀者寫道：“這個國家已經有夠多的數學文盲了，我們不想再有個世界上智商最高的人來充數！真讓人羞愧！”另一個人寫道：“我看你就是那隻山羊！”美國陸軍研究所(US Army Research Institute)的埃弗雷特·哈曼(Everett Harman)寫道，“如果連博士都要出錯，我看這個國家馬上要陷入嚴重的麻煩了。”

但是莎凡特并沒有錯。最後她用整整4個專欄，數百個新聞故事及在小學生課堂模拟的測驗來說服她的讀者她是正确的。“哦，那真是太有趣了。實際上我十分享受這些讨厭的來信，”她說。“這些家夥我真是愛死他們了！”

這一問題的關鍵在于主持人，因為他總會挑一扇後面沒有獎品（汽車）的門。遊戲秀的調查數據顯示，那些改選的參賽選手赢的幾率是那些沒有改選的人的兩倍，這證實了莎凡特在其第三篇專欄中的解釋：“當你從三扇門中選了門1後，這扇門後面有獎的幾率是1/3，另兩扇門是2/3.但接下來主持人給了你一個線索。如果獎品在門2後，主持人将會打開門3；如果獎品在門3後，他會打開門2。所以如果你改選的話，隻要獎品在門2或門3後你就會赢，兩種情況你都會赢！但是如果你不改選，隻有當獎品在門1後你才會赢。”