求解方法
開平方法
形如x=p或(nx+m)=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接開平方法解一元二次方程。
如果方程能化成(p≥0)的形式,那麼,進而得出方程的根。
注意:①等号左邊是一個數的平方的形式而等号右邊是一個非負數。
②降次的實質是由一個一元二次方程轉化為兩個一元一次方程。
③方法是根據平方根的意義開平方。
根與系數的關系是一元二次方程的重要學習内容之一。
配方法
将一元二次方程配成(x+m)=n的形式,再利用直接開平方法求解,這種解一元二次方程的方法叫配方法。
用配方法解一元二次方程的步驟:
①把原方程化為一般形式;
②方程兩邊同除以二次項系數,使二次項系數為1,并把常數項移到方程右邊;
③方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方;
④把左邊配成一個完全平方式,右邊化為一個常數;
⑤如果右邊是非負數,即可進一步通過直接開平方法求出它的解,如果右邊是一個負數,則判定此方程無實數解。
配方法的理論依據是完全平方公式a²+b²±2ab=(a±b)²。
配方法的關鍵是:先将一元二次方程的二次項系數化為1,然後在方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方。
求根公式法
用求根公式解一元二次方程的方法叫做求根公式法。
用求根公式法解一元二次方程的一般步驟為:
①把方程化成一般形式,确定a,b,c的值(注意符号);
②求出判别式的值,判斷根的情況;
③在(注:此處△讀“德塔”)的前提下,把a、b、c的值代入公式進行計算,求出方程的根。
因式分解法
因式分解法即利用因式分解求出方程的解的方法。
因式分解法就是先把方程的右邊化為0,再把左邊通過因式分解化為兩個一次因式的積的形式,那麼這兩個因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個一元一次方程的解,這樣也就把原方程進行了降次,把解一元二次方程轉化為解一元一次方程的問題(數學化歸思想)。
因式分解法解一元二次方程的一般步驟:
①移項,使方程的右邊化為零;
②将方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積;
③令每個因式分别為零,得到兩個一元一次方程;
④解這兩個一元一次方程,它們的解就都是原方程的解。
圖像解法
一元二次方程的根的幾何意義是二次函數的圖像(為一條抛物線)與x軸交點的X坐标。當時,則該函數與x軸相交(有兩個交點);當時,則該函數與x軸相切(有且僅有一個交點);當時則該函數與x軸相離(沒有交點)。
計算機法
可以進行符号運算的程序,比如軟件Mathematica,可以給出根的解析表達式,而大部分程序則隻會給出數值解(但亦有部分顯示平方根及虛數)。
根與系數的關系
韋達定理
一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0且△=b^2-4ac≥0)中,設兩個根為x1和x2,則:x1+x2=-b/a,x1x2=c/a。
證明
設x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的兩個解,則有:a(x-x1)(x-x2)=0。
∴ax^2-a(x1+x2)x+ax1x2=0。
通過對比系數可得:-a(x1+x2)=bax1x2=c。
∴x1+x2=-b/ax1x2=c/a。
計算機解
VB實現方法:該代碼僅可實現一般形式的求值,并以對話框形式顯示。
在這裡添加a、b、c的賦值過程。
例如:a=text1.text。
b=text2.text。
c=text3.text。
ifa*2<>0then。
i=((0-b)+Sqr(b^2-4*a*c))/2。
msgboxi。
i=((0-b)-Sqr(b^2-4*a*c))/2。
msgboxi。
else。
msgbox("2a為零")。
endif。