定義
質數又稱素數。一個大于1的自然數，除了1和它自身外，不能被其他自然數整除的數叫做質數；否則稱為合數（規定1既不是質數也不是合數）。
性質
質數的個數是無窮的。歐幾裡得的《幾何原本》中有一個經典的證明。它使用了證明常用的方法：反證法。具體證明如下：假設質數隻有有限的n個，從小到大依次排列為p1，p2，……，pn，設N=p1×p2×……×pn，那麼，是素數或者不是素數。
如果為素數，則要大于p1，p2，……，pn，所以它不在那些假設的素數集合中。
1、如果為合數，因為任何一個合數都可以分解為幾個素數的積；而N和N+1的最大公約數是1，所以不可能被p1，p2，……，pn整除，所以該合數分解得到的素因數肯定不在假設的素數集合中。因此無論該數是素數還是合數，都意味着在假設的有限個素數之外還存在着其他素數。所以原先的假設不成立。也就是說，素數有無窮多個。
2、其他數學家給出了一些不同的證明。歐拉利用黎曼函數證明了全部素數的倒數之和是發散的，恩斯特·庫默的證明更為簡潔，哈裡·弗斯滕伯格則用拓撲學加以證明。
分布規律
以36N（N+1）為單位，随着N的增大，素數的個數以波浪形式漸漸增多。
孿生質數也有相同的分布規律。
以下15個區間内質數和孿生質數的統計數。
S1區間1——72，有素數18個，孿生素數7對。（2和3不計算在内，最後的數是孿中的也算在前面區間。）
S2區間73——216，有素數27個，孿生素數7對。
S3區間217——432，有素數36個，孿生素數8對。
S4區間433——720，有素數45個，孿生素數7對。
S5區間721——1080，有素數52個，孿生素數8對。
S6區間1081——1512，素數60個，孿生素數9對。
S7區間1513——2016，素數65個，孿生素數11對。
S8區間2017——2592，素數72個，孿生素數12對。
S9區間2593——3240，素數80個，孿生素數10對。
S10區間3241——3960，素數91個，孿生素數19對。
S11區間3961——4752素數92個，孿生素數17對。
S12區間4752——5616素數98個，孿生素數13對。
S13區間5617——6552素數108個，孿生素數14對。
S14區間6553——7560素數113個，孿生素數19對。
S15區間7561——8640素數116個，孿生素數14對。
素數分布規律的發現，許多素數問題可以解決。
數目計算
盡管整個素數是無窮的，仍然有人會問“100，000以下有多少個素數？”，“一個随機的100位數多大可能是素數？”。素數定理可以回答此問題。
1、在一個大于1的數a和它的2倍之間（即區間（a,2a]中）必存在至少一個素數。
2、存在任意長度的素數等差數列。
3、一個偶數可以寫成兩個合數之和，其中每一個合數都最多隻有9個質因數。（挪威數學家布朗，1920年）
4、一個偶數必定可以寫成一個質數加上一個合成數，其中合數的因子個數有上界。（瑞尼，1948年）
5、一個偶數必定可以寫成一個質數加上一個最多由5個因子所組成的合成數。後來，有人簡稱這結果為（1+5）（中國潘承洞，1968年）
6、一個充分大偶數必定可以寫成一個素數加上一個最多由2個質因子所組成的合成數。簡稱為（1+2）
獨特性質
質數具有許多獨特的性質：
（1）質數p的約數隻有兩個：1和p。
（2）初等數學基本定理：任一大于1的自然數，要麼本身是質數，要麼可以分解為幾個質數之積，且這種分解是唯一的。
（3）質數的個數是無限的。
（4）質數的個數公式是不減函數。
（5）若n為正整數，在到之間至少有一個質數。
（6）若n為大于或等于2的正整數，在n到之間至少有一個質數。
（7）若質數p為不超過n（）的最大質數，則
（8）所有大于10的質數中，個位數隻有1,3,7,9。
公式
素數密度公式
根據構造函數a為常數且根據1-1性質以多項式
為函數中的指數得：當n為素數或1時，等于1，當n為合數時，等于0得素數密度公式
式中 1 定義為素數。
通項公式
素數及僞素數通項公式
把它拓展到實數那麼它的切線為:由切線方程知，素數永遠在斜率3的折線上擺動，最大斜率3+ ，最小斜率3- 。
素數的變量n的通項公式
有以上公式能夠确定僞素數及素數，那麼通過對其變量n的識别，我們可以寫出任意素數或僞素數
先确定僞素數的變量n,用n（x,y）來表示它，變量是個三維變量，公式如下：
n為偶數時：x,y 均自然數
n為奇數時：
滿足以上條件時是P（n）為素數。
應用
質數被利用在密碼學上，所謂的公鑰就是将想要傳遞的信息在編碼時加入質數，編碼之後傳送給收信人，任何人收到此信息後，若沒有此收信人所擁有的密鑰，則解密的過程中（實為尋找素數的過程），将會因為找質數的過程（分解質因數）過久，使即使取得信息也會無意義。
在汽車變速箱齒輪的設計上，相鄰的兩個大小齒輪齒數設計成質數，以增加兩齒輪内兩個相同的齒相遇齧合次數的最小公倍數，可增強耐用度減少故障。
在害蟲的生物生長周期與殺蟲劑使用之間的關系上，殺蟲劑的質數次數的使用也得到了證明。實驗表明，質數次數地使用殺蟲劑是最合理的：都是使用在害蟲繁殖的高潮期，而且害蟲很難産生抗藥性。
以質數形式無規律變化的導彈和魚雷可以使敵人不易攔截。
多數生物的生命周期也是質數（單位為年），這樣可以最大程度地減少碰見天敵的機會。
難題
哥德巴赫猜想
哥德巴赫猜想證明的困難在于，任何能找到的素數，在以下式中都是不成立的。2*3*5*7*。。。。。。*PN。。。。。。*P=PN+（2*3*5*7*。。。。。。*P-1）*PN前面的偶數減去任何一個素數PN的差必是合數.
在1742年給歐拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大于2的整數都可寫成兩個質數之和。因現今數學界已經不使用“1也是素數”這個約定，原初猜想的現代陳述為：任一大于5的整數都可寫成三個質數之和。歐拉在回信中也提出另一等價版本，即任一大于2的偶數想陳述為歐拉的版本。把命題"任一充分大的偶數都可以表示成為一個素因子個數不超過a個的數與另一個素因子不超過b個的數之和"記作"a+b"。1966年陳景潤證明了"1+2"成立，即"任一充分大的偶數都可以表示成二個素數的和，或是一個素數和一個半素數的和"。 今日常見的猜想陳述為歐拉的版本，即任一大于2的偶數都可寫成兩個素數之和，亦稱為“強哥德巴赫猜想”或“關于偶數的哥德巴赫猜想”。
從關于偶數的哥德巴赫猜想，可推出任一大于7的奇數都可寫成三個質數之和的猜想。後者稱為“弱哥德巴赫猜想”或“關于奇數的哥德巴赫猜想”。
若關于偶數的哥德巴赫猜想是對的，則關于奇數的哥德巴赫猜想也會是對的。1937年時前蘇聯數學家維諾格拉多夫已經證明充分大的奇質數都能寫成三個質數的和，也稱為“哥德巴赫-維諾格拉朵夫定理”或“三素數定理”。2013年，秘魯數學家哈拉爾德·赫爾弗戈特在巴黎高等師範學院宣稱：證明了一個“弱哥德巴赫猜想”，即“任何一個大于7的奇數都能被表示成3個奇素數之和”。
黎曼猜想
黎曼猜想是關于黎曼ζ函數ζ（s）的零點分布的猜想，由數學家波恩哈德·黎曼（1826～1866）于1859年提出。德國數學家希爾伯特列出23個數學問題。其中第8問題中便有黎曼假設。素數在自然數中的分布并沒有簡單的規律。黎曼發現素數出現的頻率與黎曼ζ函數緊密相關。黎曼猜想提出：黎曼ζ函數ζ（s）非平凡零點（在此情況下是指s不為-2、-4、-6等點的值）的實數部份是1/2。即所有非平凡零點都應該位于直線1/2 + ti（“臨界線”（critical line））上。t為一實數，而i為虛數的基本單位。無人給出一個令人信服的關于黎曼猜想的合理證明。
在黎曼猜想的研究中，數學家們把複平面上 Re（s）=1/2 的直線稱為 critical line。 運用這一術語，黎曼猜想也可以表述為：黎曼ζ 函數的所有非平凡零點都位于 critical line 上。
黎曼猜想是黎曼在 1859 年提出的。在證明素數定理的過程中，黎曼提出了一個論斷：Zeta函數的零點都在直線Res（s） = 1/2上。他在作了一番努力而未能證明後便放棄了，因為這對他證明素數定理影響不大。但這一問題仍然未能解決，甚至于比此假設簡單的猜想也未能獲證。而函數論和解析數論中的很多問題都依賴于黎曼假設。在代數數論中的廣義黎曼假設更是影響深遠。若能證明黎曼假設，則可帶動許多問題的解決。
孿生質數
證明36N（N+1）+-1形孿生素數無限多。
36N（N+1）+-1形的孿生素數叫雁蕩山孿生素數。如這種數對不是孿生素數的，它必有一邊或雙邊被小于它素數整除。
在這種數對中2和3不能整除它們，所以2和3不參加篩選；用5當篩子時，N是除以5餘2的所産生的陰性數（6n-1）能被5整除，N除以5餘1，3，4和0都不能被5整除；不管N除以5餘1.2.3.4.0，所産生的陽性數（6n+1）都不能被5整除，這樣所有的自然數中就有1/5被篩掉了。
用7當篩子時，N除以7餘2和4所産生的陽性數能被7整除，不管N除以7餘1.2.3.4.5.6.0，所産生的陰性數都不能被7整除。這樣就有2/7被篩掉了。
用11當篩子時，不管N除以11餘1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.0，所産生的陰性數和陽性數都不能被11整除，11是一個無效篩子，不參加篩選。
總之，所有的素數在篩選N時有4種情況，一，不參加篩選。二，單一參加篩選的，如5，（5是唯一一個單一參予篩選的）。三，成對單邊參加篩選的。四，成對兩邊都參加篩選的。
N是無限多的，被5篩掉了1/5,剩下還是無限多的。再被7篩掉了2/7,剩下的還是無限多的。再一個個篩下去不管篩掉的是2/P還是4/P，剩下永遠是無限多的。
雁蕩山孿生素數就是無限多的。
1849年，波林那克提出孿生質數猜想（the conjecture of twin primes），即猜測存在無窮多對孿生質數。猜想中的“孿生質數”是指一對質數，它們之間相差2。例如3和5，5和7，11和13，10,016,957和10,016,959等等都是孿生質數。
英國數學家戈弗雷·哈代和約翰·李特爾伍德曾提出一個“強孿生素數猜想”。這一猜想不僅提出孿生素數有無窮多對，而且還給出其漸近分布形式。2013年5月14日，《自然》（Nature）雜志在線報道張益唐證明了“存在無窮多個之差小于7000萬的素數對”，這一研究随即被認為在孿生素數猜想這一終極數論問題上取得了重大突破，甚至有人認為其對學界的影響将超過陳景潤的“1+2”證明。
36N（N+1）+ -1形的孿生素數，N《100000000 有109128對。
梅森質數
梅森素數編選法
根據素數作為因子數在2^N-1數列中的分布規律而編選梅森素數。
一 在2^N-1平方根以内沒有奇素數的，這個指數的數就是梅森素數，後面的指數能被這個梅森素數整除的都有這個梅森素數的因子，周期重複的都編上這個因子數。
二 在2^N-1數列中N是合數的，2^N-1是由前面素因子和新增的因子數組成，隻要除去前面的因子數就能得到新的因子數，新的因子數也以這個指數為周期重複出現，并在後面重複的數編上這個因子數。
三 指數是素數的，剩下的因子素數根據減1能被指數整除來選合，選合後并在後面的周期重複的數編上這些因子數；剩下的因子素數在2^N-1平方根以内選完後，還有梅森數空着，這個梅森數就是梅森素數，并在後面周期重複的數編上為些因子數。
根據以上的方法操作如下：
把2^n-1的指數都展開，從2開始編下去。
指數2的數值是3，3的平方根内沒有奇素數，所以它是梅森素數，凡是指數能被2整除的都有3的因子數，後面以2為周期編上因子數3；
指數3的數值是7，7的平方根内沒有奇素數，所以它也是梅森素數；凡是指數能被3整除的都有7的因子數，以3為周期編上因子數7；
指數4數值是15，4能被2整除所以有3的因子數，15除以3等于5，5是新出現的因子數，凡是指數能被4整除的，都有5的因子數，後面以4為周期編上因子數5；
指數是5數值是31，31的平方根以内隻有3和5兩個奇素數，3和5已是指數2和4的因子數了，所以這個梅森數是梅森素數，凡是指數能被5整除的，都有31的因子數，後面以5為周期編上因子數31；
指數6數值是63，6比較特别，凡是指數能被6整除的都會再增一個3的因子數，它是唯一一個不會新增其他因子數的數，後面以6為周期再編上一個因子數3；
指數7數值是127，127的平方根以内隻有奇素數11還沒有用上（實際以後都會用上的），11減1不能被7整除，所以127也是梅森素數，凡是指數能被7整除的都有127的因子數，後面以7為周期編上因子數127；
指數8數值是255，增加了17的因子數，凡是指數能被8整除的都有17的因子數，後面以8為周期編上因子數17；
指數9數值是511，新增73的因子數，凡是指數能被9整除的都有73的因子數，後面以9為周期編上因子數73；
指數10數值是1023，新增11的因子數，凡是指數能被10整除的都有11的因子數，後面以10為周期編上因子數11；
指數11數值是2047，2047的平方根内還有43，41，37，29，23，19，13等奇素數（隻要往後多編一些，留下的數就更少了），隻要将這幾個數都減去1，那一個數被11整除，隻有23-1能被11整除，2047/23=89，23和89是它的因子數，兩個因子數都是新增加的，因為它是梅森合數，凡是指數能被11整除的都有23和89的因子數，後面以11為周期編上因子數23和89；
指數12數值是4095，已有的因子數3*7*5*3，新的因子數是13，凡是後面指能被12整除的，都編上因子數13。
指數13數值是8191，8191的平方根内還有83，79，73，71，67，61，59，53，47，43，41，29，19等素數，其中隻有79-1能被13整除，用79試除也是不行，所以8191也梅森素數。
一直編下去，每一個指數至少都會新增一個素數的因子數，不是梅森素數和梅森合數的因子數都能編選出來，沒有選到的就是梅森合數的因子數和梅森素數。
編梅森數時，根據素數減1能被指數整除的定理，從剩下素數中選合。
2^N-1的平方根以内的素數都被因子數選完，留下就是梅森素數了。
梅森素數的近似計算公式：
3*5/3.8*7/5.8*11/9.8*13/11.8*......*P/（P-1.2）-1=M
P是梅森數的指數，M是P以下的梅森素數的個數。
以下是計算的數值與實際數的情況：
指數5，計算2.947，實際3 ，誤差0.053；
指數7，計算3.764，實際4 ，誤差 0.236；
指數13，計算4.891，實際5，誤差0.109；
指數17，計算5.339，實際6，誤差0.661；
指數19，計算5.766，實際7，誤差1.234；
指數31，計算6.746，實際8，誤差1.254；
指數61，計算8.445，實際9，誤差0.555；
指數89，計算9.201，實際10，誤差0.799；
指數107，計算9.697，實際11，誤差1.303；
指數127，計算10.036 ，實際12，誤差1.964；
指數521，計算13.818，實際13，誤差-0.818；
指數607，計算14.259，實際14，誤差-0.259；
指數1279，計算16.306，實際15，誤差-1.306；
指數2203，計算17.573，實際16，誤差-1.573；
指數2281，計算17.941，實際17，誤差-0.941；
所有的奇素數都是準梅森數（2^N-1）的因 子數，則梅森合數的因子數是隻有素數中的一部份。
在2^N-1的數列中，一個素數作為素因子第一次出現在指數N的數中，這個素數作為因子數在2^N-1數列中就以N為周期出現。在這種數列中指數是偶數的都等于3乘以四倍金字塔數。
在2^N-1數列中，指數大于6的，除梅森素數外，都有新增一個或一個以上的素數為因子數，新增的因子數減1能被這個指數整除。
一個梅森合數的因子數隻有唯一一次出現在一個梅森合數中。
一個是梅森素數的素數，它永遠不是梅森合數的因子數。
一個是前面的梅森合數的因子數，它永遠不會是後面的梅森合數的因子數。
所有梅森合數的數因子減1都能被這個梅森合數的指數整除，商是偶數。
一個素數在不是梅森合數的準梅森數中第一次以因子數出現，這個素數減1能被這個準梅森數的指數整除，商不一定是偶數。
梅森素數都在[4^（1-1）+4^（2-1）+4^（3-1）+......+4^（n-1）]*6+1數列中，括符裡種數暫叫四倍金字塔數。
凡是一個素數是四倍金字塔數的因子數，以後就不是梅森合數的因子數。
在4^（1-1）+4^（2-1）+4^（3-1）+......+4^（n-1）數列中的數，有不等于6NM+-（N+M）的數乘以6加上1都是梅森素數。
在2^P-1平方根以下的素數都以素因子在以前準梅森數中出現了，那這個梅森數必是梅森素數。但它的逆定理是不成立的。如果還沒有出現在以前的準梅森數中的素數，它也不定是梅森合數的因子數。
17世紀還有位法國數學家叫梅森，他曾經做過一個猜想：當2p-1 中的p是質數時，2p-1是質數。他驗算出：當p=2、3、5、7、17、19時，所得代數式的值都是質數，後來，歐拉證明p=31時，2p-1是質數。 p=2，3，5，7時，2p-1都是素數，但p=11時，所得2,047=23×89卻不是素數。
梅森去世250年後，美國數學家科爾證明，267-1=193,707,721×761,838,257,287，是一個合數。這是第九個梅森數。20世紀，人們先後證明：第10個梅森數是質數，第11個梅森數是合數。質數排列得雜亂無章，也給人們尋找質數規律造成了困難。
迄今為止，人類僅發現49個梅森質數。美國中央密蘇裡大學于2016年1月7日發現的質數，為迄今發現的最大質數，同時是一個梅森質數。由于這種質數珍奇而迷人，它被人們稱為“數學珍寶”。值得一提的是，中國數學家和語言學家周海中根據已知的梅森質數及其排列，巧妙地運用聯系觀察法和不完全歸納法，于1992年正式提出了梅森素質分布的猜想，這一重要猜想被國際上稱為“周氏猜測”。
（GIMPS）項目于2016年1月7日找到人類已知的最大素數274,207,281-1，該素數有22,338,618位，是第49個梅森素數。
2017年12月26日，美國田納西州日耳曼敦的GIMPS志願者喬納森·佩斯（JonathanPace）發現了第50個梅森素數277232917－1。這個超大素數有23249425位數，再次刷新了已知最大素數紀錄。新的紀錄是M82589933，由美國佛羅裡達州奧卡拉的帕特裡克·羅什在2018年12月7日發現。
