内容
角平分線的性質
角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。
性質：“距離”是指點到直線的距離，在應用時必須含有垂直這個條件，否則不能得到線段相等。
判定：到角兩邊距離相等的點在角的平分線上。
注：外角平分線上的點到角兩邊的反向延長線的距離相等。
角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。
定理
三角形的角平分線：
從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的角平分線(bisector of angle)。
三角形的内心：三角形三個角平分線的交點叫做三角形的内心。
内角平分線的性質定理
性質1：在角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。
性質2：到一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上。
綜合性質1與性質2，可得到如下結論：
角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合。
三角形内角平分段性質定理，其内容是：
三角形内角平分線分對邊所成的兩條線段，和兩條鄰邊成比例。
證明
●三角形内角平分線分對邊所成的兩條線段，和兩條鄰邊成比例．
即 在三角形ABC中，當AD是頂角A的角平分線交底邊于D時，BD/CD=AB/AC.
證明：
如圖，AD為△ABC的角平分線，過點D向邊AB,AC分别引垂線DE,DF.則DE=DF.
S△ABD：S△ACD=BD/CD
又因為S△ABD：S△ACD=[(1/2)AB×DE]：[(1/2)AC×DF]=AB：AC
所以BD/CD=AB/AC.
第一部分
1.角平分線可以得到兩個相等的角。
角平分線，顧名思義，就是将角平分的射線。
如右圖，若射線AD是角CAB的角平分線，則角CAD等于角BAD。
第二部分
2.角平分線線上的點到角兩邊的距離相等。
如右上圖，若射線AD是∠CAB的角平分線，求證：CD=BD
∵∠DCA=∠DBA
∠CAD=∠BAD
AD=AD
∴△ACD≌△ABD
∴CD=BD
第三部分
3.三角形的三條角平分線交于一點，稱作三角形的内心。三角形的内心到三角形三邊的距離相等。
這一條是第二條的引申，詳細證明過程參照第二條和三角形内心。
第四部分
4.三角形一個角的平分線，這個角平分線其對邊所成的兩條線段與這個角的兩鄰邊對應成比例。
如右下圖，平面内任意一小于180度的∠MAN，AS平分∠MAN，直線BC分别交射線AM、AN、AS于B、C、D，求證：AB/BD=AC/CD：
作BE=BD交射線AS于E，如圖1：
∵BE=BD，
∴∠BED=∠BDE，
∴∠AEB=∠ADC
又∵∠BAE=∠CAD,
∴△AEB∽△ADC,
∴AB/BE=AC/CD, 即AB/BD=AC/CD.
另外的情況，如圖2，直線BC交AS的反向延長線于D,
如圖3，直線BC交AN的反向延長線于C;
此時，仍有AB/BD=AC/CD
證法與圖1類似
逆定理
【角平分線逆定理】
1.到角兩邊的距離相等的點在角平分線上。
2.平面内任意一小于180度的∠MAN如圖，直線BC分别交半直線AM、AN、AS于B、C、D，AB/BD=AC/CD則：AS平分∠MAN
下面給出證明過程：
證明：過B作BH∥AC交AS于H
∴△ADC∽△HDB(∠ADC=∠HDB，∠ACD=∠HBD)
∴AC/CD=HB/BD
又AB/BD=AC/CD
∴AB=BH
∴∠BHA=∠BAH=∠HAC
∴AS平分∠MAN
