二階導數

定義

以導數定義法定義：如果函數的導數在處可導，則稱的導數為函數在點處的二階導數，記為。

以極限定義法定義：函數在xo處的二階導數是導函數在xo處的導數，即

物理意義

以物理運動為例，我們知道，變速直線運動的速度是位置函數對時間的導數，即

這種導數的導數或稱為對的二階導數，記作

所以，直線運動的加速度就是位置函數對時間的二階導數。

幾何意義

切線斜率變化率

據導數的幾何意義，二階導數按極限形式

可直接理解為曲線的切線斜率的變化率，也就是切線斜率的平均變化率。

凹率

凹率可以認為是二階導數的幾何本質。

據曲線的凹凸性，時，曲線在a點上凹；時，曲線在a點下凹。

如果規定曲線在a點上凹為正，下凹為負（以下均如此設定），則凹向的正負就與的正負一緻，的正負就表示曲線在a點上凹的正負。

抛物線的凹率與焦準距

對于抛物線

其導函數為：

則二階導數為，稱2a為整個抛物線的凹率。

抛物線經平移可得原點為頂點的标準抛物線，參數a不變，标準抛物線方程，其中p為焦準距，定義焦準距為焦點與準線的縱坐标差，則抛物線的焦準距。

例題

設，求和。

解：用導數定義求解：