簡介
在數學上，遞推關系（recurrence relation），也就是差分方程（difference equation），是一種遞推地定義一個序列的方程式：序列的每一項目是定義為前一項的函數。某些簡單定義的遞推關系式可能會表現出非常複雜的（混沌的）性質，他們屬于數學中的非線性分析領域。所謂解一個遞推關系式，也就是求其解析解，即關于n的非遞歸函數。
意義性質
意義
差分方程是微分方程的離散化。一個微分方程不一定可以解出精确的解，把它變成差分方程，就可以求出近似的解來。
比如 dy+y*dx=0,y(0)=1 是一個微分方程， x取值[0,1](注：解為y(x)=e^(-x));要實現微分方程的離散化，可以把x的區間分割為許多小區間 [0,1/n],[1/n,2/n],...[(n-1)/n,1]這樣上述微分方程可以離散化為：y((k+1)/n)-y(k/n)+y(k/n)*(1/n)=0， k=0,1,2,...,n-1 （n 個離散方程組）利用y(0)=1的條件，以及上面的差分方程，就可以計算出 y(k/n) 的近似值了。
性質
性質1 Δk(xn+yn)=Δkxn+Δkyn
性質2 Δk(cxn)=cΔkxn
性質3 Δkxn=∑（-1)jCjkXn+k-j
性質4 數列的通項為n的無限次可導函數，對任意k>=1，存在η，有 Δkxn=f(k）（η）
基本概念
一、差分的概念
設函數yt=f(t)在t=…，-2，-1，0，1，2，…處有定義,對應的函數值為…，y-2，y-1，y0，y1，y2，…，則函數yt=f(t)在時間t的一階差分定義為 Dyt=yt+1-yt=f(t+1)-f(t)。
依此定義類推，有 Dyt+1=yt+2-yt+1=f(t+2)-f(t+1)，Dyt+2=yt+3-yt+2=f(t+3)-f(t+2)，………………
一階差分的性質
(1) 若yt=C(C為常數)，則Dyt=0；
(2) 對于任意常數k，D(KYT)=kDyt；
(3) D(yt+zt)=Dyt+Dzt。
函數yt=f(t)在時刻t的二階差分定義為一階差分的差分，即
D2yt= D (D yt)= D yt+1- D yt
=(yt+2-yt+1)-(yt+1-yt)=yt+2-2yt+1+yt．
依此定義類推，有
D2yt+1= Dyt+2- Dyt+1=yt+3-2yt+2+yt+1，D2yt+2= Dyt+3- Dyt+2=yt+4-2yt+3+yt+2，………………
類推，計算兩個相繼的二階差分之差，便得到三階差分
D3yt= D2yt+1- D2yt=yt+3-3yt+2+3yt+1-yt，
D3yt+1= D2yt+2- D2yt+1=yt+4-3yt+3+3yt+2-yt+1， ………………
二、 差分方程
含有未知函數yt=f(t)以及yt的差分Dyt， D2yt，…的函數方程，稱為(簡稱)；出現在差分方程中的差分的最高階數，稱為。n階差分方程的一般形式為F(t，yt，Dyt，…， Dnyt)=0，其中F是t，yt, Dyt，…， Dnyt的已知函數，且Dnyt一定要在方程中出現。
含有兩個或兩個以上函數值yt，yt+1，…的函數方程，稱為，出現在差分方程中未知函數下标的最大差，稱為。n階差分方程的一般形式為F(t，yt，yt+1，…，yt+n)=0,其中F為t，yt，yt+1，…，yt+n的已知函數，且yt和yt+n一定要在差分方程中出現。
經濟學中的應用
一、 存款模型
設St為t期存款總額，i為存款利率，則St與i有如下關系式：
St+1=St+iSt=(1+i)Si， t=0，1，2，…，
其中S0為初始存款總額。
二、 動态供需均衡模型(蛛網定理)
設Dt表示t期的需求量，St表示t期的供給量，Pt表示商品t期價格，則傳統的動态供需均衡模型為：
其中a，b，a1 ，b1均為已知常數。
(1)式表示t期(現期)需求依賴于同期價格；
(2)式表示t期(現期)供給依賴于(t-1)期(前期)價格。
(3)式為供需均衡條件。
若在供需平衡的條件下，而且價格保持不變，即 Pt=Pt-1=Pe，靜态均衡價格需求曲線與供給曲線的交點(Pe ，Qe)即為該種商品的靜态均衡點。
若初始價格P0已知時,将其代入通解，可求得任意常數A=P0-Pe ，此時，通解改寫為
如果初始價格P0=Pe ，那麼Pt=Pe ，這表明沒有外部幹擾發生，價格将固定在常數值Pe上，即靜态均衡。如果初始價格P0≠Pe，那麼價格Pt将随t的變化而變化。
三、 凱恩斯(Keynes.J.M)乘數動力學模型
設Yt表示t期國民收入，Ct為t期消費，It為t期投資，DI0為自發(固定)投資，I為周期固定投資增量。凱恩斯國民經濟收支動态均衡模型為：
(1)式為均衡條件，即國民收入等于同期消費與同期投資之和；(2)式為消費函數，即現期消費水平依賴于前期國民收入(消費滞後于收入一個周期)，a(≥0)為基本消費水平，b為邊際消費傾向(0＜b＜1)；(3)式為投資函數，這裡僅考慮為固定投資。在凱恩斯主義者眼裡，“資本”也是一個同質的總量概念，即隻有一個“總資本”，他們無法理解，資本是迂回的生産鍊條，有複雜的時間結構。
四、 哈羅德(Harrod.R.H)經濟增長模型
哈羅德—多馬模型（Harrod-DomarModel，H-D）是對凱恩斯S=I模型早期的動态化發展，提出在假定資本産出比不變的情況下，均衡經濟增長率取決于儲蓄率，即儲蓄傾向。設St為t期儲蓄，Yt為t期國民收入，It為t期投資，s稱為邊際儲蓄傾向(即平均儲蓄傾向)，0＜s＜1，k為加速系數。哈羅德宏觀經濟增長模型為：
其中s，k為已知常數。(1)式表示t期儲蓄依賴于前期的國民收入；(2)式表示t期投資為前兩期國民收入差的加速，且預期資本加速系數k為常數；(3)式均衡條件。
