定理说明
高欧拉商数(highlytotientnumber)k是有以下性质的正整数:使方程式
有m个解,其中φ是欧拉函数,m为正整数,而且若k用其他较小的整数代入时,解的个数都会小于m。例如方程式
,在时,分别有个解(在k为大于1的奇数时,的解不存在),有5个解,若代入小于8的数值,解都少于5个,因此8是高欧拉商数。头几个高欧拉商数是:
(OEIS中的数列A097942).分别使上述方程有
及72个解。若将使分别恰有0个解、1个解、2个解……的最小k值组成一个数列,则高欧拉商数会是此数列的一个子集。例如8为高欧拉商数,有5个解,表示任何小于8的整数都无法使有5个解,因此8是使有5个解的最小k值。相关联系
高欧拉商数的概念有点类似高合成数;1既是高合成数中唯一的奇数,也是高欧拉商数中唯一的奇数(其实1是欧拉函数值域中唯一的奇数)。而且高欧拉商数和高合成数都有无限多个,不过随着数字的增加,要找到高欧拉商数也就越来困难,因为欧拉商数和质因子分解有关,数字越大,就越难进行质因子分解。