简介
在数学中，双曲线（多重双曲线或双曲线）是位于平面中的一种平滑曲线，由其几何特性或其解决方案组合的方程定义。双曲线有两片，称为连接的组件或分支，它们是彼此的镜像，类似于两个无限弓。
双曲线是由平面和双锥相交形成的三种圆锥截面之一。（其他圆锥部分是抛物线和椭圆，圆是椭圆的特殊情况）如果平面与双锥的两半相交，但不通过锥体的顶点，则圆锥曲线是双曲线。
双曲线出现在许多方面：
作为在笛卡尔平面中表示函数的曲线；作为日后的阴影的路径；作为开放轨道（与闭合的椭圆轨道不同）的形状，例如在行星的重力辅助摆动期间航天器的轨道，或更一般地，超过最近行星的逃逸速度的任何航天器；作为一个单一的彗星（一个旅行太快无法回到太阳系）的路径；作为亚原子粒子的散射轨迹（以排斥而不是吸引力作用，但原理是相同的）；在无线电导航中，当距离到两点之间的距离而不是距离本身可以确定时，等等。
双曲线的每个分支具有从双曲线的中心进一步延伸的更直（较低曲率）的两个臂。对角线对面的手臂，一个从每个分支，倾向于一个共同的线，称为这两个臂的渐近线。所以有两个渐近线，其交点位于双曲线的对称中心，这可以被认为是每个分支反射以形成另一个分支的镜像点。在曲线的情况下，渐近线是两个坐标轴。
双曲线共享许多椭圆的分析属性，如偏心度，焦点和方向图。许多其他数学物体的起源于双曲线，例如双曲抛物面（鞍形表面），双曲面（“垃圾桶”），双曲线几何（Lobachevsky的着名的非欧几里德几何），双曲线函数（sinh，cosh，tanh等）和陀螺仪矢量空间（提出用于相对论和量子力学的几何，不是欧几里得）。
名称定义
我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于一个常数（常数为2a，小于|F1F2|）的轨迹称为双曲线;平面内到两定点的距离差的绝对值为定长的点的轨迹叫做双曲线。
即：||PF1|-|PF2||=2a
定义1：
平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数2a（小于这两个定点间的距离）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，两焦点之间的距离称为焦距，用2c表示。
定义2：平面内，到给定一点及一直线的距离之比为常数e（e>1，即为双曲线的离心率；定点不在定直线上）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线。
定义3：一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行也不通过圆锥面顶点，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。
定义4：在平面直角坐标系中，二元二次方程F(x,y)=Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0满足以下条件时，其图像为双曲线。
1、系数矩阵满秩，即
2、Δ=B2-AC>0
在高中的解析几何中，学到的是双曲线的中心在原点，图像关于x，y轴对称的情形。这时双曲线的方程退化为：.Ax²+Cy²+F=0
上述的四个定义是等价的，并且根据负号的前后位置判断图像关于x，y轴对称。
特征介绍
标准方程
1、焦点在x轴上时为：
（a>0，b>0）
2、焦点在y轴上时为：
（a>0，b>0）
其中：||PF1|-|PF2||=2a，b²=c²-a²，|F1F2|=2c。
分支
可以从图像中看出，双曲线有两个分支。当焦点在x轴上时，为左支与右支；当焦点在y轴上时，为上支与下支。
焦点
在定义1中提到的两个定点称为该双曲线的焦点，定义2中提到的一给定点也是双曲线的焦点。双曲线有两个焦点，焦点的横（纵）坐标满足c²=a²+b²。
准线
在定义2中提到的给定直线称为该双曲线的准线。
双曲线的准线的方程是：（焦点在x轴）或（焦点在y轴）
离心率
在定义2中提到的到给定点与给定直线的距离之比，称为该双曲线的离心率。
离心率e=frac{c}{a}
双曲线有两个焦点，两条准线。（注意：尽管定义2中只提到了一个焦点和一条准线，但是给定同侧的一个焦点，一条准线以及离心率可以根据定义2同时得到双曲线的两支，并且两支关于虚轴对称。所以在两侧的焦点，准线和相同离心率得到的双曲线是相同的。）
顶点
双曲线和它的焦点连线所在直线有两个交点，它们叫做双曲线的顶点。
实轴
两顶点之间的线段称为双曲线的实轴，实轴长的一半称为半实轴。
虚轴
在标准方程中令x=0，得y²=-b²，该方程无实根，为便于作图，在y轴上画出B1（0，b）和B2（0，-b），以B1B2为虚轴。
渐近线
双曲线有两条渐近线。渐近线和双曲线不相交。
渐近线的方程求法是：将标准方程的右边的常数改为0，即可用解二元二次的方法求出渐近线的解。
以焦点在x轴上的双曲线为例，将方程改为，移项之后两边开平方得，这就是焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程。
同理可知焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为。
参数方程
焦点在x轴上的双曲线的参数方程为，，其中参数t的范围是[0,2π)且
极坐标方程
以双曲线的右焦点为极点，x轴正方向为极轴建立极坐标系，则双曲线的极坐标方程为。其中e是双曲线的离心率，e>1；叫做双曲线的焦准距，即焦点到对应准线的距离。
注意极角θ的取值，因双曲线的e>1，会出现分母为0的情况。解1-ecosθ=0，得cosθ=1/e=a/c，在[0,2π)上存在两个点使得等式成立。事实上这两个角恰好就是两条渐近线的倾斜角。
若以左焦点为极点，仍然以x轴正方向为极轴建立极坐标系，则双曲线的极坐标方程为。
焦半径
连接焦点与双曲线上任意一点所得的线段叫做双曲线的焦半径，一般用r1、r2来表示左焦半径与右焦半径。
焦半径公式可由距离公式或圆锥曲线的第二定义推出。
顶点连线斜率
双曲线上一点（不包括两顶点）与两顶点连线的斜率之积为定值。有的参考书上把这条性质看作双曲线的第三定义，即平面内一点P(x, y)与两定点的连线的斜率之积为定值（该定值>0）时，P的轨迹为双曲线（但不包括两定点）。
实际应用
双曲线在实际中的应用有通风塔，冷却塔，埃菲尔铁塔，广州塔等。
几何性质
由于双曲线在高考的小题中经常出现，并且经常结合渐近线出题，这里列举几个常见的双曲线几何性质，尤其是关于渐近线的性质，便于小题中能快速使用这些性质来解题。
有关渐近线的性质
（1）设双曲线的右准线和一条渐近线交于P，A是右支的端点，F是右焦点，那么OP=OA，OP⊥PF。左边同理。根据这个性质，过焦点作渐近线的垂线，垂足一定在准线上，并且Rt△OPF的三边恰好为a、b、c。
证明：右准线的方程为，设它和渐近线交于，于是利用两点之间的距离公式，OP=a=OA。
同时由斜率的定义得到，所以。连接PF，在△OPF中使用余弦定理可得PF=b，∠OPF=90°。即Rt△OPF的三边恰好为a、b、c。
（2）过双曲线上任意一点P作某条渐近线的平行线，交准线于Q，则PQ=PF。
证明：以右焦点和右准线为例，过P作PM⊥准线于M，根据双曲线的第二定义，
所以PF=PM*e
又根据已知条件，PQ与PM的夹角（或其补角）恰好为渐近线的倾斜角，于是，所以。
根据三角函数的定义，
（3）过双曲线上一点P作x（y）轴的平行线，交渐近线于A、B，则PA*PB=a²（b²）。
证明：以作x轴的平行线为例。设P(x0,y0)，平行于x轴的直线为y=y0，交渐近线于。于是：
（4）过双曲线上一点P作两条渐近线的垂线PM、PN，则
证明：根据平面几何知识可知∠MON和∠MPN互补，因此cos∠MPN=-cos∠MON
而根据双曲线的对称性，x轴平分∠MON，利用三角函数的万能公式，
因此
又设P(x0,y0)，利用点到直线的距离公式，
所以
注意P点在双曲线上，有，代入上式得到最终结果。
（5）设一条直线与双曲线交于A、B两点（可以同支或不同支），交两条渐近线于C、D两点，则AC=BD。特别地，若直线是双曲线的切线，切点为P，那么有PC=PD。
证明：利用平面几何。
①当直线垂直于x轴时，根据对称性立刻得到结论。
②当直线不垂直于x轴时，过A、B分别作x轴的垂线，两条垂线交两渐近线于M、N、R、S四点。
得到两组相似三角形△ACM∽△BCR和△ADN∽△BDS
于是有
将两个等式相乘，得
又根据性质3，AM*AN=BR*BS=b²，所以有AC*AD=BC*BD
AC*(AB+BD)=BD*(AB+AC)
化简得AC=BD
当CD是切线时，AB重合为一点P，此时有PC=PD，即：双曲线的一条切线交两条渐近线于两点，则切点到这两点的距离相等。
（6）双曲线的一条切线交渐近线于A、B两点，则：
1.
2.OA*OB为定值。
上述定值均与切点位置无关。
证明：显然，所有平行于x轴的直线都和双曲线有两个交点，因此它们都不会是切线，即双曲线的切线必定与x轴不平行。
所以设切线方程为x=my+n，联立双曲线方程，消去x，得
切线和双曲线只有一个交点，判别式为0，因此
化简得n²=a²-b²m²
从该式子可看出a²>b²m²（因为n一定不会是0，如果n=0则b²m²=a²，使得上述方程的二次项为0，于是得到矛盾方程a²b²=0），因此a±bm≠0。
联立切线和两条渐近线方程，可解得
设切线和x轴交于N(n,0)，则
为定值，与切点所处位置无关。
要计算OA*OB，直接套距离公式非常麻烦，可利用向量的方法。
因为，且所以
为定值，与切点所处位置无关。
（7）过双曲线上任意一点P作两渐近线的平行线，分别交于A、B两点，则平行四边形OAPB的面积为定值（与P的位置无关）。
设P(x0,y0)，那么PA和PB的方程可写为和，于是可以分别求出
利用平行四边形的面积公式，
该性质也可以看作性质（5）（6）的推论，这是因为假设过P的切线交渐近线于M、N两点，由性质（5）可知P是MN的中点。于是由三角形中位线定理，A、B分别是OM、ON中点。那么S△OAP=1/2*S△OMP，S△OBP=1/2*S△ONP。因此S△OAP+S△OBP=1/2*(S△OMP+S△ONP)，即S平行四边形OAPB=1/2*S△OMN。根据性质（6）可知S平行四边形OAPB=1/2*ab是定值。
其他性质
因为圆锥曲线涉及切线问题的几乎只有焦点在y轴上的抛物线，双曲线不会考，但作为补充仍给出下列性质。
（8）双曲线上任意一点的切线方程为（注：利用隐函数的求导法则求出斜率后，根据点斜式写出切线方程）
（9）设双曲线在P点的切线与准线交点为Q，那么∠PFQ=90°。焦点弦两端的切线相交于准线上。
（10）设PF1和PF2是两条焦半径，那么P点的切线平分∠F1PF2。反过来，若已知某直线平分焦半径PF1与PF2的夹角，那么该直线与双曲线切于P。这个性质又被称作双曲线的光学性质，即从一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光的反向延长线经过另一个焦点。
（11）若椭圆和双曲线的焦点相同，在椭圆与双曲线的交点处分别作椭圆与双曲线的切线，那么这两条切线垂直。
蒙日圆问题
设双曲线两条互相垂直的切线交于P，则P的轨迹是一个圆（去掉与渐近线的4个交点）。
设交点P(x0,y0)，因为双曲线的切线不可能与x轴平行，所以另一条切线不可能与y轴平行，即两条切线都有斜率。
设切线方程为y=k(x-x0)+y0，联立双曲线，消去y得
因为直线和双曲线相切，判别式为0，得
整理得
两条切线互相垂直，斜率之积为-1，根据韦达定理，有
整理得
但是，注意到一开始联立切线与双曲线的方程中，二次项系数不能为0，即。把这个关系代入关于k的一元二次方程中，得到。因此，P的轨迹是去掉与渐近线的4个交点的圆
，这个圆叫做蒙日圆，又叫做外准圆。
注意：只有当a>b时方程x²+y²=a²-b²才表示一个圆，此时双曲线的离心率。
内准圆问题
上面介绍了外准圆（蒙日圆）的概念，现在来研究内准圆的概念。
设AB是双曲线的一条弦（A和B可以在同支或不同支），弦对中心O的张角∠AOB=90°，则无论AB的位置如何，O到直线AB的距离都是一个常数。以该常数为半径，中心O为圆心的圆叫做双曲线的内准圆。
为了证明O到AB的距离是常数，先证明一个引理。
引理：若A、B在双曲线上并且OA⊥OB，那么是常数（与A、B位置无关）。
以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则根据极坐标与直角坐标的转换关系，双曲线上任意一点(ρ,θ)均满足
由于OA⊥OB，不妨设A(ρ1,θ)，B(ρ2,θ+90°)，代入上述方程中，得
第二个等式是利用了三角函数的诱导公式cos(θ+90°)=-sinθ和sin(θ+90°)=cosθ。
又根据极坐标的定义，为定值。
有了引理之后，利用面积法可以证明O到AB的距离是定值。
设O到AB距离是d，根据三角形的面积公式，有。
两边平方，得
所以是定值。
内准圆的方程为
注意：同外准圆相反，拥有内准圆的条件是，所以双曲线内外准圆只能有其中一个。特别地，等轴双曲线（又叫直角双曲线，满足a=b）既没有内准圆也没有外准圆。
这个性质可以简单记忆如下：双曲线内准圆的任意一条切线被双曲线截得的弦，对中心O的张角为直角。
焦点三角形面积公式
设P为双曲线上一点，F1、F2为两个焦点，△PF1F2叫做焦点三角形。若∠F1PF2=θ，
则
推导：
不妨设|PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c。由余弦定理，
而根据双曲线的定义，|m-n|=2a，两边平方，整理得m²+n²=2mn+(2a)²
代入余弦定理的表达式：
所以得到
所以
此外，若设P(x0,y0)，则△PF1F2可以看做底是2c，高是|y0|的三角形，那么
所以如果知道了点P的坐标或∠F1PF2的其中一个，那就可以求另一个。
若从几何角度研究这个结论：
则由几何性质（8）和（9）可知PZ是角平分线，且有∠PSZ=90°
而PM⊥MZ，即∠PMZ=90°，所以PMZS四点共圆
所以有∠XMS=∠SPZ=θ/2
而XS是焦准距，根据三角函数的定义，，即
重点
取值范围
│x│≥a（焦点在x轴上）或者│y│≥a（焦点在y轴上）。
对称性
关于坐标轴和原点对称，其中关于原点成中心对称。
顶点
A（-a，0），A'（a，0）。同时AA'叫做双曲线的实轴且│AA'│=2a。
B（0，-b），B'（0，b）。同时BB'叫做双曲线的虚轴且│BB'│=2b。
F1（-c，0）或（0，-c），F2（c，0）或（0，c）。F1为双曲线的左焦点，F2为双曲线的右焦点且│F1F2│=2c
对实轴、虚轴、焦点有：a2+b2=c2
渐近线
焦点在x轴：
焦点在y轴：
离心率
第一定义：e=c/a且e∈（1，+∞）
第二定义：双曲线上的一点P到定点F的距离│PF│与点P到定直线（相应准线）的距离d的比等于双曲线的离心率e。
d点│PF│/d线（点P到定直线（相应准线）的距离）=e
焦半径
（圆锥曲线上任意一点P（x，y）到焦点距离）
左焦半径：r=│ex+a│
右焦半径：r=│ex-a│
等轴双曲线
一双曲线的实轴与虚轴长相等即：2a=2b且e=√2
这时渐近线方程为：y=±x（无论焦点在x轴还是y轴）
共轭双曲线
双曲线S'的实轴是双曲线S的虚轴且双曲线S'的虚轴是双曲线S的实轴时，称双曲线S'与双曲线S为共轭双曲线。
几何表达：S：（x2/a2）-（y2/b2）=1，S'：（y2/b2）-（x2/a2）=1
特点：
（1）共渐近线，与渐近线平行得线和双曲线有且只有一个交点；
（2）焦距相等；
（3）两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1。
准线
焦点在x轴上：x=±a2/c
焦点在y轴上：y=±a2/c
与反比例函数
X2/a2-Y2/b2=1（a>0，b>0）
而反比例函数的标准型是xy=c（c≠0）
但是反比例函数图象确实是双曲线轨迹经过旋转得到的
因为xy=c的对称轴是y=x，y=-x而X2/a2-Y2/b2=1的对称轴是x轴，y轴
所以应该旋转45°
设旋转的角度为a（a≠0，顺时针）
（a为双曲线渐进线的倾斜角）
则有：
X=xcosa+ysina
Y=-xsina+ycosa
取a=π/4
则：
X2-Y2=（xcos（π/4）+ysin（π/4））2-（xsin（π/4）-ycos（π/4））2
=（√2/2x+√2/2y）2-（√2/2x-√2/2y）2
=4（√2/2x）（√2/2y）
=2xy
而xy=c
所以：
X2/（2c）-Y2/（2c）=1（c>0）
Y2/（-2c）-X2/（-2c）=1（c
由此证得，反比例函数其实就是双曲线的一种形式，只不过是双曲线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式。
双曲线内、上、外
在双曲线的两侧的区域称为双曲线内，则有x2/a2-y2/b2>1；
在双曲线的线上称为双曲线上，则有x2/a2-y2/b2=1；在双曲线所夹的区域称为双曲线外，则有x2/a2-y2/b2。
光学性质
从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上。双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用。
