综述
对于acosx+bsinx型函数，我们可以如此变形acosx+bsinx=√(a^2+b^2)(acosx/√(a^2+b^2)+bsinx/√(a^2+b^2))，令点(b,a)为某一角φ终边上的点，则sinφ=a/√(a^2+b^2),cosφ=b/√(a^2+b^2)
∴acosx+bsinx=√(a^2+b^2)sin(x+arctan(a/b))
这就是辅助角公式。
设要证明的公式为acosA+bsinA=√(a^2+b^2)sin(A+M)(tanM=b/a)
证明
证明过程
设acosA+bsinA=xsin(A+M)
∴acosA+bsinA=x((a/x)cosA+(b/x)sinA)
由题,sinM=a/x,cosM=b/x,（a/x)^2+(b/x)^2=1
∴x=√(a^2+b^2)
∴acosA+bsinA=√(a^2+b^2)sin(A+M)或acosA+bsinA=√(a^2+b^2)cos(A-M),tanM=sinM/cosM=a/b(a,b)由其所在象限确定。
公式应用
例1求sinθ/(2cosθ+√5)的最大值
设sinθ/(2cosθ+√5)=k则sinθ-2kcosθ=√5k
∴√[1+(-2k)^2]sin(θ+α)=√5k
平方得k^2=sin^2(θ+α)/[5-4sin^2(θ+α)]
令t=sin^2(θ+α)t∈[0,1]
则k^2=t/(5-4t)=1/(5/t-4)
当t=1时有kmax=1
辅助角公式可以解决一些sin与cos角之间的转化
例2化简5sina-12cosa
5sina-12cosa
=13(5/13sina-12/13cosa)
=13(cosbsina-sinbcosa)
=13sin(a-b)
其中，cosb=5/13,sinb=12/13
例3π/6<=a<=π/4,求sin²a+2sinacosa+3cos²a的最小值
令f(a)
=sin²a+2sinacosa+3cos²a
=1+sin2a+2cos²a
1+sin2a+(1+cos2a)(降次公式)
=2+(sin2a+cos2a)
=2+根号2sin(2a+π/4)(辅助角公式)
因为7π/12<=2a+π/4<=3π/4
所以f(a)min=f(3π/4)=2+(根号2)sin(3π/4)=3
特殊公式
利用sin30=(1/2),cos30=（√3/2），sin60=(√3/2），cos60=（1/2），sin45=(√2/2），cos45=(√2/2）等进行计算。
如：求sinx+cosx的最大值和最小值
sinx+cosx=√2×sin(x+45)
当x=45+360k（k为整数）时sinx+cosx最大为√2
当x=225+360k（k为整数）时sinx+cosx最小为-√2
函数特征
f(A)=asinA+bcosA=√a^2+b^2(asinA/√a^2+b^2+bcosA/√a^2+b^2)
=√a^2+b^2(cosMsinA+sinMcosA)
=(√a^2+b^2)sin(A+M)
f(A)max=√a^2+b^2
f(A)min=-√a^2+b^2
其中cosM=b/√a^2+b^2
sinM=a/√a^2+b^2
