不等式
设E为Rn中的勒贝格可测集，f(x)，g(x)为E上p(p>1)次实值可积函数，g(x)为E上q(q>...当p=q=2时的赫尔德不等式特别称为施瓦兹（Schwarz）或柯西（Cauchy）不等式。注意若p=1，规定q=+∞...n
证明
如果||f||p=0，那么f在μ-几乎处处为零，且乘积fg在μ-几乎处处为零，因此赫尔德不等式的左端为零。如果||g||q=0也是这样。因此，我们可以假设||f||p>0且||g||q>0。
如果||f||p=∞或||g||q=∞，那么不等式的右端为无穷大。因此，我们可以假设||f||p和||g||q位于(0，∞)内。
如果p=∞且q=1，那么几乎处处有|fg|≤||f||∞|g|，不等式就可以从勒贝格积分的单调性推出。对于p=1和q=∞，情况也类似。因此，我们还可以假设p，q∈(1，∞)。
分别用f和g除||f||p||g||q，我们可以假设：n我们现在使用杨氏不等式：n对于所有非负的a和b，当且仅当时等式成立。n两边积分，得......n这便证明了赫尔德不等式。
在p∈(1，∞)和||f||p=||g||q=1的假设下，等式成立当且仅当几乎处处有。
更一般地，如果||f||p和||g||q位于(0，∞)内，那么赫尔德不等式变为等式，当且仅当存在α，β>0（即α=||g||q且β=||f||p），使得：μ-几乎处处(*)n||f||p=0的情况对应于(*)中的β=0。||g||q=的情况对应于(*)中的α=0。
