常用定理
正弦定理
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(2R在同一个三角形中是恒量,R是此三角形外接圆的半径)。
变形公式
(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
(2)sinA:sinB:sinC=a:b:c
(3)asinB=bsinA,asinC=csinA,bsinC=csinB
(4)sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R
(5)a/sinA=b/sinB=c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)
(6)S=1/2bcsinA=1/2acsinB=1/2absinC
余弦定理
a^2=b^2+c^2-2bccoA
b^2=a^2+c^2-2acB
c^2=a^2+b^2-2abC
注:勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况。
变形公式
C=(a^2+b^2-c^2)/2ab
B=(a^2+c^2-b^2)/2ac
A=(c^2+b^2-a^2)/2bc
海伦-秦九韶公式
p=(a+b+c)/2(公式里的p为半周长)
假设有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得:
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]
已知三条中线求面积
方法一:已知三条中线Ma,Mb,Mc,
则S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3;
方法二:已知三边a,b,c;
则S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)];其中:p=(a+b+c)/2;
形状判断
勾股定理只适用于直角三角形(外国叫“毕达哥拉斯定理”)a^2+b^2=c^2,其中a和b分别为直角三角形两直角边,c为斜边。勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数。比如:3,4,5。他们分别是3,4和5的倍数。常见的勾股弦数有:3,4,5;6,8,10;5,12,13;10,24,26等等。
题型
正弦定理
已知条件:一边和两角(如a、B、C,或a、A、B)
一般解法:由A+B+C=180°,求角A,由正弦定理求出b与c,在有解时,有一解。
余弦定理
已知条件:两边和夹角(如a、b、C)
一般解法:由余弦定理求第三边c,由正弦定理求出小边所对的角,再由A+B+C=180°求出另一角,在有解时有一解。
已知条件:三边(如a、b、c)
一般解法:由余弦定理求出角A、B,再利用A+B+C=180°,求出角C在有解时只有一解。