虚时间:用虚数测量的时间-中文百科频道

简介

“虚数时间”是指由虚数来度量表示的时间。或许很多人认为这样定义下的“虚数时间”只是个数学游戏，史蒂芬．霍金倒是为数学的价值说了番好话：或许你会认为，这代表虚数只是个数学游戏，与真实世界没有任何关是。然而，就实证主义观怎么而言，我们无法断言什麽是真实。我们所能做的，只是确定哪些数学模型适合描述我们置身的宇宙。结果证明，用到虚数时间的数学模型不仅能导出已经观测到的效应，还能导出我们目前测量不出，却基於某些原因而深信存在的效应。

【虚数】：在数学上用i表示，且规定i的平方等于-1

【虚时间】：用虚数测量的时间。

广义

在广义相对论中，由于时间和空间在公式中表达的方式，使实际谈论时间的创生成为可能。麻烦的是，在经典理论中，当空间和时间“开始形成”时，实在的点本身是数学中的奇点，数学失效了，所以它不能给你一个创生论。你在传统的宇宙论中所能说的是，存在许多不同的可能宇宙，它们所有都和爱因斯坦方程式相符合。我们恰巧在这个宇宙中生活的事实，毋宁说纯粹是出于偶然。你不能赋予任何理由——甚至在原则上也不能。你所能说的一切是条件陈述：假定宇宙在这一时刻处在这个状态，则它在以后的时刻将处于那个状态。它是条件性类型的演化。

可能性

然而，当你谈到虚时间，就有一个奇怪的可能性，也就是“现在”不一定要有一连串的过去时刻。如果我们从现在这一时刻往过去回溯，在很长的时间内一切都完全正常地进行，甚至在虚时间中也是如此。只要你使用这个唯象的时间，看起来就像你在通常时间里回溯过去。

但是随着你往以前退去，越来越接近传统的实时间图像中变成原点之处，你就发现时间的性质在改变，复的或虚的变得越来越有份量。最后，在经典理论中应该是奇点的东西被抹平了，你就得到这张漂亮的图画，这些碗状的宇宙创生图像。那里没有起点，只是某种光滑的形状。

虚的含义

虚时间中的词“虚”不是指想象：它是指数学中非常古老的观念。对于一位给定的观察者，空间和时间当然是可区分的：我们用尺来测量空间，用钟表测量时间。爱因斯坦和赫尔曼·闵可夫斯基在上世纪初指出，不同的观察者的空间和时间概念，只不过是同一个统一的空间——时间观念的不同方面。空间——时间是四维空间几何，它有某些类空间的方向和某些类时间的方向。所以就一定意义上来讲，在那里空间和时间概念仍是可以区分的。

奇点

是什么

1974年，年仅32岁的斯蒂芬·霍金发表了黑洞蒸发理论，其实早在4年前28岁时，他就曾经提出过膨胀宇宙的奇点定理：在宇宙的初创期不可避免地存在着奇点。

在通常黑洞的中心存在着奇点，在旋转黑洞的赤道上存在着环状的奇点。在介绍黑洞、大爆炸、大塌缩的读物里，“奇点”这个陌生的名词频频出现。既别扭又难懂，难道就找不到其它的表达方法吗？读者们大概都有这样的抱怨。

但是，我们只能原样照搬地使用这个数学名词。所谓奇点，浅显易懂地说（也许笔者的解释并不浅显易懂），是一个非常奇特的点，它存在于黑洞中以及大爆炸的起始点、大塌缩的终结点。

前面讲过，在数学上当分数的分子为有限值，而分母变成零时，或者三角函数里的正切函数tanx当x成为90度时的值都是无穷大。当x从89度开始渐渐接近90度时，tanx的值就无限地接近正无穷大；反过来当x从91度开始一点点地变小接近90度时，函数值将无限地接近负无穷大；当x正好是90度时，函数值（的绝对值）为无限大，无法判定其正负。数学上的奇点就是如此奇妙的点。

虽然简单地使用了无穷大，但是笔者个人认为这样的数在物理学里是不存在的……人们为了进行加减乘除开平方等各种数学计算，引入了分数、无理数、负数等等，但是无论什么数都不许被零除，在每一所学校里教师都这样严格地教导学生。无穷大只是嘴上说说而已，实际中从不使用。比如：我们说宇宙的大小为150亿光年，尽管极为广阔，但绝不是无穷大。

笔者认为，把数学套用到物理的现实世界时，所谓无穷大的数只是不得已而暴露出的不真实的数值。尽管是不真实的数值，如果它能够给我们带来方便的话，用之也无妨。

下面举个简单的例子。在物理问题中经常出现‘有个质量为m的点’之类的用词，质点是为了把力学问题简化而设想的非现实的点状物体，常有脑子好用且爱钻牛角尖的学生提出‘那个质点的密度是多大？’的问题，令教师为难，最合适的回答也许是‘不考虑质点的密度’。事实上正是因为所处理的问题不涉及密度，我们才放心地把‘质点’的概念引入力学之中。

在物理学里，对于（认真去分析的话）很奇怪的概念，只要我们不是直接地研究它，通常都采取默认的态度，这样的事例很多。当其影响不可避免时，则重新修正我们的思考方式。质点是力学中的约定俗成的概念。当我们分析发生在时空中的电子-光子相互作用时，也会出现刚才说过的无穷大的困难，该困难至今仍未得到完美的解决（或理解）。

是否存在

接下来我们要讨论的问题是霍金等人指出的宇宙的奇点。对于不带自转的黑洞来说，视界或者说史瓦西半径以内的任何物质（包括光）都不可能跑出来，它们都落向中心点。黑洞大概是密度极高的球状物体……我们很愿意这样去想像，但它也可能是由中子星进一步缩聚而成，仍然保持着天体的形状。总之，黑洞的形状无人知晓。

原因在于，谁也无法知道黑洞之中究竟是什么状态。从它的外面来想像，我们只知道中心的引力值是无穷大，所以不妨认为黑洞内部的质量全部集中在中心点上。

由于引力强的地方空间弯曲得也厉害，随着接近中心，弯曲程度也愈来愈激烈。假如在不带自转的正球形黑洞里，空间将一下子靠向中央（那里的情景很难打比方，也很难想像），并且急剧地弯曲起来。在任何曲线的任何部位上，只要取无限短的一小段，都可以将其视为某个圆弧的一部分，圆的半径越小，曲线在该处的弯曲程度就越大。

我们乘火车时，在转弯处的铁路旁边经常能够看到标有转弯半径的标记，列车的设计时速越高，所要求的最小转弯半径就越大。我们将半径的倒数（1除以半径）叫做曲率，曲率越大，曲线越弯曲。

举例

新买来的蚊香是由二根盘成一片的，二根都从外缘盘向中心，由外向内，曲率越来越大。不过蚊香比较粗，如果是一根细线紧密地盘向中心点的话，在终点处曲率的理论值将成为无穷大，在到达终点前需要绕无数圈。重要的是，在黑洞的中心引力为无穷大，空间曲率（谁也无法想像三维空间如何弯曲）也是无穷大，因此该点被称为奇点。

奇点是作为数学上的极限被提出来的，在现实世界里那样的东西是否存在呢？如果数学计算的结果令我们不得不承认黑洞的中心是奇点的话，落入黑洞中的物质在到达奇点之前或许经过蛀洞从另一侧的白洞飞了出来……这种解释也许能成立吧。

哈特尔和霍金的发现

彭罗斯和霍金以前的理论研究认为：宇宙始于大爆炸终于大塌缩，即宇宙从奇点创生并且终结于奇点。在奇点处物理定律失效，所以有关初始及终结的问题被排除到了物理定律的适用范围之外，但是对于从不回避实际问题的科学家来说，在感情上不能容忍奇点这样的超现实的东西。在数学上碰到奇点时，总是想方设法绕道而行，换句话说，绝对不承认分母为零的事情。大家可以从稍后的介绍看出，霍金的思想正是如此。霍金为了调查宇宙从大爆炸到大塌缩的路径，使用了一种特别的数学手段——路径积分。

最先使用这种方法的人是擅长用画图的手段求解物理问题的美国物理学家理查德·费曼，他与朝永振一郎、施温格共同获得了1965年度诺贝尔物理学奖。当时朝永与施温格用数学公式完成了量子电动力学的理论体系，费曼用方便易懂的图解方法（横轴为空间，纵轴为时间）进行了同样的工作。

费曼图被广泛运用于物理学的各种领域，它表示了研究对象怎样从过去演变到未来，例如电子放出或吸收光子的过程，费曼用直观的视觉反映了自己的研究。因此，某个物体从A地点（或状态）过渡到B地点（或状态）时，其中过程是怎样变化的即沿哪一条路行进的呢？费曼擅长用图研究这类问题。大家可能感到路径积分是先通过图进行分析然后再把分析过程数学公式化的方法。路径积分已经成为理论物理学的最重要的手段之一。实际上，有关路径积分的计算是非常繁琐的，例如时间积分就有无限多种组合方法。下面的例子也许不一定适当，为了便于理解还是请大家一起来看一下。

路径积分指出光的路线

光在真空中（如果忽略引力的影响）沿直线传播。在空气中，由于各处空气的浓淡不同，光有时会弯曲，原因在于光在浓的空气里传播速度会降低。假如考虑从A地到B地的光总是选择所需时间最短的路径的话，当大气的浓淡分布非常复杂时，利用路径积分方法能找出其中的捷径。

如图5－3，假定光从A地出发越过海湾到达B地，A与B之间能够引出无数的连线，我们任取一条来计算光所需的传播时间，先求从A到它附近A1点所需的时间、沿着连线再求从A1到附近A2的时间、再求从A2到A3的时间……如此类推，先分段计算最后求和。因为每一处的光速都不一样，所以尽管很繁琐但是却没有别的办法。由于是对AB间的路径求和，所以称为路径积分。为找出最短路径，需要将无数的路径积分进行比较。

实际上，科学家们使用了一种叫做变分法的数学手段，非常巧妙地求出效率最佳的一条路线，光将沿着该路线从A传到B。海水温度低，贴近海面的空气比较冷，密度较高，而上空则比较暖和，空气密度也较低，所以光线实际上是从A出发沿着一条曲线到达B地的，海市蜃楼现象就是这个道理。

力学里也有类似的叫做最小作用原理的方法。在物理学的研究物质基本性质的分支——基本粒子物理学中，路径积分法是非常有效的方法。

不过，适用于基本粒子论的路径积分必须符合量子力学的要求。量子力学原本就是把所有的可能性都加以综合考虑的理论，所以在AB间的任何路线上都存在光通过的可能性。霍金利用了这种数学手段，用量子力学的观点计算路径积分，分析了宇宙的路径——宇宙的演化过程。

哈特尔发现

哈特尔和霍金所发现的是：如果你假设，宇宙在虚时间里的过去历史图像是所有可能的、恰好和我们现在时刻宇宙相符的这类形状，而你多多少少用传统量子力学方式来解释之，至少在原则上你会得到整个宇宙唯一的波函数。

对这个发现的分析

这样，你就得到了这个没有过去的美妙图画，宇宙根本不从任何东西产生出来。因为它是一个自洽的数学结构，所有你真正能说的是宇宙存在。和从某点创生宇宙的图景不一样，这宇宙没有过去，因为没有任何它在其中创生的东西。

如此，宇宙从“无”中创生的说法，实际上有一点用词不当；这是词汇“无”的误用。它不只是指在空虚的空间中出现宇宙，你也许可以把这空间称为“无”：因为甚至连创生事件也不存在，所以根本不存在任何东西！

在这些理论中，动词过去时态的使用变成不恰当。当然，在人们相信实时间时就建立了时态。不幸的是，我们还没有在虚时间中表示时态的语言形式。因此，在这层意义上，说“从无中创生”肯定是误导的。它对于这个在预先存在的时间中忽然出现的宇宙图像很合适，可是它并不是哈特尔——霍金态的贴切描述。

为了预言宇宙是如何起始的，人们需要在时间开端处也能成立的定律。在实时间内只存在两种可能性：或者时间往过去回溯直至无穷，或者时间在一个奇点处有一个开端。人们可以把实时间认为是从大爆炸起到大挤压止的一根直线。但是，人们还可以考虑和实时间成直角的另一个时间方向。这叫做时间的虚方向。在时间的虚方向，不必要任何形成宇宙开端或终结的奇点。

在虚时间里，没有科学定律在该处失效的奇点，也没有人们需要在该处乞求上帝的宇宙边缘。宇宙既不创生也不毁灭结束。它就是存在。

也许虚时间才真正是真实的时间，而我们称为实时间的仅是我们的想象。宇宙在实时间里各有一个开端和终结。可是在虚时间里，不存在奇点或边界。因此，也许我们称为的虚时间是真正更基本的，而我们叫做实时间的，只不过是我们发明的观念，用来帮助自己描述我们认为的宇宙的样子。

许多人相信，上帝允许宇宙按照一套定律来演化，上帝并不干涉演化的过程促使宇宙触犯这些定律。然而，仍然需要靠上帝去卷紧发条并选择如何去启动它。只要宇宙有一个开端，我们就可以设想有一位造物主。但是，如果宇宙确实是完全自足的，那还会有造物主的存身之处吗？

宇宙如何终结

宇宙如何终结存在两种基本理论。一种是开放宇宙的观念，它会继续演化，不会突然终止；事情仅仅是缓慢下来，并且按照热力学第二定律到达热死。另外一种是闭合宇宙的观念，它会停止膨胀，而且会向自身坍缩回来，这有时被称作大挤压，像是大爆炸，只不过在时间上颠倒过来就是了。

最简单的理论

尽管那种观念具有巨大威力，在统一这些概念方面仍然可以走得更远些。如果你用虚数来测量时间方向，那你就得到了空间和时间之间的完全对称，这在数学上是非常美妙和自然的观念。无边界设想就是利用这个数学的单纯化，导致所有可能的宇宙的初始条件中的最简单的理论。

但是，人们不应认为日常经验中可以直接体验到虚时间。它是一种用来表达物理方程式的美丽的数学观念，同时在此情形下，它是一个解释宇宙初始状况的特殊设想。

霍金的奇性定理

霍金的奇性定理指出，爱因斯坦的广义相对论和一定的观测相结合，意味着宇宙在开端处必须有一个奇点。如果你向时间过去回溯，到达某一点就不能再过去了。我们通常将此视为时间的起点。

这扰乱了许多假定宇宙为无限古老的人。霍金的思想指出宇宙有一个开端，有人觉得，这符合创世纪所描述的宇宙在时间中创生；虽然其他神学家说，上帝创世并不见得就发生在我们的时间里。

上帝也许可以创生一个无限宇宙，但是霍金的思想隐含着时间有一个开端。现在，我们当然知道，爱因斯坦理论在非常接近于那个开端处不能成立。所以我们知道，该理论本身在那里失效。那就引起了这样的可能性：即也许宇宙是无限古老的，或者也许是别的什么样子的。

现在许多人连霍金都觉得时间概念本身在接近开端处失效，因此谈论开端之前是什么并没有意义：在此之前是否有无限的时间呢？还是只有有限的时间？宇宙是否有一个时间上的绝对开端呢？由于时间观念本身在这些极早的时刻并没有多少意义，所以那些问题有些是没有什么意义的。我们能肯定的是，就我们所知，时间有一个开端，可是这开端有一个点，一旦超过那一点，我们标准的时间概念就失效。

在哈特尔——霍金的无边界设想中，宇宙开端的方式是：时间的行为非常滑稽：在技术意义上时间是虚的。这样时间没有边缘，你似乎有一个地球的表面。譬如说你从北极出发，沿着经线往外走。这些经线的确从北极散开，北极是完全规则的。

这就是霍金的宇宙图像：这个虚时间既没有开端也没有终结。它没有必要永远前进。它是有限的，如同地球只有有限的面积一样。在地球上不可能永远继续向北走下去。由于你可以走到最北的一点，在某种意义上，你会走到尽头。但在另一种意义上，在那里并没有真正的终点。

因此，霍金说，宇宙在开端处没有边界，所以宇宙是一个自足的整体。他还论断道，上帝实在没有必要去启动宇宙：宇宙能够自身存在那里，不需要上帝去创造它。

是否有造物主

还会有造物主的存身之处吗？上帝是否创造宇宙的问题和宇宙是否有边缘并没有直接关联，尽管许多人认为是相关的。它们实际上是不怎么相干的。

例如，我在一张纸上画了两条线。这条直线有两个端点：如果我想象时间以那种方式前进的话，则你可把这一个端点称为起点，那一个端点称为终点。如果时间沿相反方向前进，则情况就变相反，这一个端点称为终点，那一个端点称为起点。你可将此当成宇宙的一个模型，一个具有开端和终结的宇宙。

这个圆圈表示另一个宇宙。当时间前进时，在某种意义上存在一个最早的时刻；可是如果你沿着这圆圈的线，该线没有终点，它只是不断围绕着。

但是，我自己画了这些线，所以在某种意义上而言，我创造了它们。但是它们是否有开端或终结，对我是否创造了它们的问题毫无影响。

我认为宇宙的情形是类似的。在霍金的旧模型中，宇宙具有一个开端，也许还有一个终结。新模型更像这没有开端和终结的圆圈。在某种意义上它有个最左的端点；这样你能说有某种像是最早时刻和最晚时刻的东西。但是，就更技术性的意义来说，既不存在开端也不存在终结。而且这两种都可以由上帝来创造。我们必须先有信仰，才能问它是否由上帝创造的问题。这是科学既不能证实也不能证伪的事体。

我想，霍金在他的书中小心避免公开直截了当地说没有上帝。他仅说：还会有造物主的存身之处吗？然而我想他希望人们从这里得出何种结论是十分明显的。

霍金观点

彭罗斯与霍金起先也认为宇宙起始于奇点、终止于奇点，从现在的宇宙向过去追溯的话，总会到达‘再没有以前’的一点——奇点，后退的终点也就是宇宙时间的起点，在该点上，质量为无穷大、弯曲为无穷大、其它的基本物理量都是无穷大，令物理学家们无从下手。宇宙似乎确实存在着起点，但是，宇宙是怎么开始的？在开始之前是什么样子？一切都笼罩在迷雾之中。

这些奇怪的概念都是爱因斯坦的广义相对论的必然推论，使人感到很无奈。但是，霍金并没有因此放弃努力，他把量子理论用到路径积分里发展了原来的路径积分方法，提出了‘无境界’宇宙模型。霍金勇敢地否定了自己以前提出的奇点定理，找出了回避奇点这个数学疑难的方法。

不过，无境界宇宙也不是个一提就懂的概念。虽然时空不可分割，为了便于理解，这里只考虑时间，所谓无境界就是没有任何断头的意思，霍金的结论用另一种说法来说就是：任何时候都存在时间，即使在大爆炸之前或大塌缩之后也不例外。

霍金的宇宙模型是个象地球一样的球形，球的表面代表宇宙空间，北极点对应于大爆炸。宇宙从北极点开始，球的纬度对应于宇宙的大小，随着时间的推移，宇宙逐渐沿北纬80度圈、70度圈、60度圈……的方向扩大，现在是宇宙诞生后大约150亿年，大致相当于北纬40度附近，再过100亿年左右宇宙将膨胀到最大状态——赤道上，然后转入收缩，进入地球模型上的南半球，最后是大塌缩，即模型上的南极点。

用地球来打比方是为了便于大家理解，重要的是：不把北极点和南极点当作特殊的点。的确，从几何学的角度看，极点与表面的其它部分完全相同。当然，地球的南、北极是自转的轴，按照纬度的定义，它们分别对应于南、北90度。霍金的宇宙模型里的南北极没有任何特殊的构造。

霍金与哈特尔一起消除了大爆炸和大塌缩的宇宙奇点，用地球来比喻他们的模型再恰当不过了，无论是在北极还是在南极都不存在无穷大或者其它的特殊因素。

爱因斯坦观点

虚时间是一具很难掌握的概念，它可能是我的书的读者觉得最困难的东西。

我还由于使用虚时间而受到哲学家们猛烈的批评。虚时间和实在的宇宙怎么会相乾呢？我以为这些哲学家没有从历史吸取教训。人们曾经一度认为地球是平坦的以及太阳绕着地球转动，然而从哥白尼和伽利略时代开始，我们就得调整适应这种观念，即地球是圆形的而且它绕着太阳公转。类似的，长期以来对于每位观测者时间以相同速率流逝似乎是显而易见的，但是从爱因斯坦时代开始，我们就得接受，对于不同的观测者时间流逝的速率不同。此外，宇宙具有唯一的历史似乎是显然的，但是从发现量子力学起，我们就必须把宇宙考虑成具有任何可能的历史。我要提出，虚时间的观念也将是我们必须接受的某种东西。它和相信世界是圆的是同等程度的一个智慧的飞跃。在有教养的世界中平坦地球的信仰者已是凤毛麟角。

你可以把通常的实的时间当成一根从左至右的水平线。左边代表早先，右边代表以后。但是你还可以考虑时间的另一个方向，也就是书页的上方和下方。这就是时间的所谓的庶的方向，它和实时间夹直角。

引入虚时间的缘由是什么呢？人们为什么不只拘泥于我们理解的通常的实时间呢？正如早先所提到的，其原因是物质和能量要使时空向其自身弯曲。在实时间方向，这就不可避免地导致奇性。时空在这里到达尽头。物理学方程在奇点处无法定义，这样人们就不能预言会发生什么。但是虚时间方向和实时间成直角。这表明它的行为和在空间中运动的三个方向相类似。宇宙中特质引起的时空曲率就使三个空间方向和这个虚的时间方向绕到后面再相遇到一起。它们会有任何可以叫做开端或者终结的点，正和地球的表面没有开端或者终结一样。

1983年詹姆·哈特尔和我提出，对于宇宙不能取在实时间中的历史求和，相反的，它应当取在虚时间内的历史的求和，而且这些历史，正如地球的表面那样，自身必须是闭合的。因为这些历史不具有任何奇性或者任何开端或终结，在它们中发生的什么可完全由物理定律所确定。这表明在虚时间中发生的东西可被计算出来。而如果你知道宇宙在虚时间里的历史，你就能计算出它在实时间里如何行为。以这种方法，你可望得到一个完整的统一理论，它能预言宇宙中的一切。爱因斯坦把他的晚年献身于寻求这样的一种理论。因为他不相信量子力学，所以他没有寻找到。他不准备承认宇宙可以有许多不同的历史，正如在对历史求和中的那样。对于宇宙我们仍然不知道如何正确地对历史求和，但是我们能够相当肯定，它将牵涉到虚时间以及时空向自身闭合的思想。我认为，对于下一代的人而言，这些思想将会像世界是圆形的那么自然。虚时间已经成为科学幻想的老生常谈。但是它不仅是科学幻想或者数学技巧。它是某种使我们生活于其中的宇宙成形的某种东西。

其他观点

不曾存在的东西

平方后等于负1的数称为虚数，用i表示。i的3传记为3i、7倍记为7i，它们都是虚数。1与－1的平方都是1，平方为－1的数原本是没有的，虚数是在‘如果有的话’的前提下提出的概念。由实数和虚数组合成的数叫做复数，复变函数是专门研究复数的数学分支。

把不曾有的数当做仿佛真的存在一样地去研究，这样做未尝不可以。

我们再多举些数学味道更浓的例子，比如arcsins（正弦值为5的角的数’。引入i的概念以后，对arcsin5之类的怪数也可以进行计算与分析，只要容忍i，就可以对其它的怪数置之不理，进行漂亮的数学处理。我们是不是对i太迁就了呢？

笔者建议对数学感兴趣的读者思索一下这个问题。如果您认为它不公平的话，就请您自己消除这种不公，创造一门新的数学分支。

只将虚数i数学系统化是有其充分理由的，复数可以适用于从加减乘除四则运算到微分积分的各个数学领域，‘可以不矛盾地数学系统化’。3＋2i与5－4i的和是8－2i，其它的演算也一样没有问题。虽说从现实观点看，初始的i本身是个奇妙的数字，但只要承认它的存在，其它方面就可以万事大吉。

有点象非欧几何的情形：只要承认‘通过一点可以画出一条直线及其平行线’的非欧几里德公理，就不会遇到其它的矛盾。不过非欧几何可以应用于球面，它具有实际的意义。问题是其它的数学计算无法进行，如果对于除了i以外的其它不存在的数，数学法则也能够成立的话，数学家们应该早就把它形式化了。所以人们引入了叫做i的虚数，它冠冕堂皇地进入了教材并成为数学家的研究对象。

实数就是一切

数学是以公理为基础、没有矛盾地拓展的理论，而物理学则是以自然界为研究对象的学问。由于物理学中常常定量地分析事物，所以大量地借用了数学家们所设定的数及其演算规律。不过，物理学家从未向数学家支付过专利费（或使用费），因为数学的发展很大程度上依赖于物理学的需要，两门学科相辅相成。现在的问题是，物理学怎样看待虚数i。

长度是最单纯、最直观的物理量之一，为了表达长度，人们定义了基本单位——1米，因此有了物体的长度为7米、0.8米等说法。32千米也罢、2.734米也罢，各种长度都有它的表达方法。

物理学的研究对象和实数之间（借用数学家的话边长为1米的正方形，它的对角线长度约为1.414米，纯粹派的人士度、质量等各种量，只要定义其单位，然后使用数字就能正确地表达量的物理学的研究对象和实数之间（借用数学家的话）是一一对应的关系，用全部实数能够完全地记述自然界，从这个意义上说，在物理学里不应该有虚数或复数的市场。）是一一对应的关系，用全部实数能够完全地记述自然界，从这个意义上说，在物理学里不应该有虚数或复数的市场。

不错，在交流电理论中确实运用了复变函数，但那只不过是为了图方便，如果你不嫌烦的话，运用正弦、余弦等实函数也完全可以解决问题。

从现实问题出发很难理解复数（特别是一部分为虚数）所表示的量。我们很容易理解3个苹果的意思，当别人向你要3i个苹果时怎么办？毫无办法！教室的黑板到对面墙壁的距离是12i米、这箱桔子重4i千克之类的话，谁也没有听说过。

大爆炸之前

假设

如果将宇宙比作地球的话，最初的大爆炸就相当于北极点，请读者容忍一下接受这个说法。霍金在使用路径积分法的同时把时间虚数化（关于虚数我们将在下一小节详细介绍）从而化解了时间的境界。各位一定会问，这到底是怎么回事？用地球作比喻的话，大爆炸以前的宇宙对应于哪个部位呢？难道存在比北极点更‘北’的地方吗？

结果

答案是，用路径积分法确实能够使时间的境界消失，由于大爆炸以前的时间是个虚数，所以无法用图或模型来表示。这里又冒出来一个叫做虚数的讨厌的数学概念，使用数学武器求解物理问题时，难免会陷入这样的窘境。不管怎样，按霍金的办法去做的话，就会出现‘过去存在过虚时间’这样的事情，如果我们把过去看成虚时间的话，就可以不带奇点地‘平坦地’解释宇宙的初始与终结。

笔者绝对没有抬出虚数为难大家的意思，不过，在继续我们的话题之前有必要介绍一下虚数的概念以及它‘在实际问题中所代表的含义’。

虚时间引发大爆炸

宇宙的创生是我们用虚时间研究的问题之一。最初，能量被封闭在非常非常狭小的空间里，四周是无法逾越的高墙，但是根据量子力学的隧道效应，里面的能量会贯穿墙壁跑到外面……这是量子宇宙论对大爆炸起因的解释。笔者在这里想说的是，利用虚时间也可以解释大爆炸的发生。

假设在宇宙的最初（如同霍金所提倡的）时间是虚数，由于加速度为距离除以时间的平方，所以当时间为虚数时，力的符号变为负（反方向）。难以逾越的高墙反过来变成了深深的堑壕，在力学上势能（位置能）的符号发生了变化，封闭着能量的口袋在一瞬间消失，从而揭开了宇宙大爆炸的序幕，在此瞬间里时间由虚变实，变成了通常的膨胀。

利用虚时间不仅能消除奇点，而且还能解释大爆炸的起因。话题似乎又转回到了一开始的问题上：虚时间是什么？由虚变实是怎么一回事？那个过程给周围带来了哪些变化？……这些事情都超越了我们的想像。

解释

例如，在氢原子里有一个电子，按照玻尔的旧量子论，电子是绕原子核公转的粒子，即，电子是个颗粒，它围绕着原子核旋转。经典力学的模型不难理解。

但是创立于本世纪20年代的新量子力学指出，应该把电子理解成是聚集于原子核周围的云团，电子不是一个颗粒，而是一团云。为了用数学公式描述这团云，就得使用复数，电子以及其它的微观对象都属于复数范畴，金属中的自由电子以及封闭箱子里的气体分子的状态原则上都要用复数来记述。因此，虚数已经大量地介入到了物理学之中。虚数不是个不明不白的数吗？用它记述的对象是什么东西呢？量子力学认为粒子具有波的性质，数学上用波函数描述波的状态，然而波函数是个复数。

所谓复数波是什么样的波呢？无人能够画出它的图象。波函数描述的是对象物（原子或电子）的状态，而不是眼睛所看见的影象。人眼所能看到的是荧屏上出现的波纹状的痕迹——它对应于物体的能量的大小及变化。

波函数的确表示了粒子的存在位置，不过我们计算空间中粒子的存在概率时必须把复数平方（正确的说法是，复变函数与它的共轭函数相乘）后转变成实数才行。计算某个波函数所表示的粒子的能量时，我们通过求解量子力学的公式得出的是实数的能量值（在量子力学中称为本征值）。

这段文字或许令您费解，让我们再复述一遍其中的要点。用于描述粒子状态的波函数是由实数与虚数的和构成的复数，通过对式子进行变换一定能得出实数值，这种方法就是量子力学，我们把用量子力学公式求出的所谓各物理量的理论值与实验测量值相对比进行各种分析，虽然人无法看见复数所表示的东西，但是这样做并不矛盾。

量子力学真是妙不可言，测量数值是实数，而谁也看不到的状态却用奇妙的复数来表述。

那么，是不是可以认为复数所表述的状态是真实的存在呢？

例如，某个电子的状态用复数来记述，求解它的能量时，使用量子力学公式来计算得出了实数值，没有问题。结果没有问题能否说明其余一切也都没有问题呢？爱穷根究理的人（或形而上地研究问题的人）一定会拘泥于这样的困惑。

电子在被观测到之前，它的能量大小及存在位置均为不明，云一样存在的电子真的是个复数的东西呢？还是，因为我们对观测之前的事情一无所知，为了方便起见才使用了数学家创造的复数呢？电子的实体就是虚数呢？还是，虚数根本没有实体，使用虚数只不过是为了能够顺利地进行以后的各种计算呢？

一场哲学争论好象开始了，关键的是，无论持哪一种观点都不会给以后的研究带来妨碍。物理学家们好象并不愿意过分深入地探讨这些纯哲学的问题。如果一定要说清楚的话，以玻尔为首的哥本哈根学派似乎持有粒子本身就是复数的观点，与此对立，对作为量子力学基础的‘不确定性’持反对意见的爱因斯坦等人则认为宇宙的根本是实数的东西，他们的真实思想，笔者无从知晓。总之，如果有一百位物理学家的话，大概就会有一百种对量子力学的解释……

四维的勾股定理

为了介绍虚数，笔者用了相当大的篇幅。正象举例说明的那样，虚的物理量实在令人难以理解。关于大爆炸以前的虚时间能不能更通俗易懂地讲解一下呢？面对这样的要求，笔者实在无能为力。

反正示意图是画不出来的，普通的时间尚无法看见，更别提看见虚时间了。我们的意识在一定程度上能够推定时间的经过，如果这时间是虚时间的话将会怎样呢？谁也说不出来。霍金为了避开奇点用数学公式表示了时间的连续性，但是他却回避不了大爆炸前的虚时间。

虚时间的提出，消除了宇宙创生于奇点的困惑。接下来，笔者用比较易懂的狭义相对论的公式，再对虚时间进行一些讲解。

狭义相对论认为，光速是不变的，长度及时间随测量方法的不同而不同，时间与长度具有同等的资格。因此狭义相对论的公式是四维公式。

设x、y、z为三维空间坐标的互相垂直的三个轴，t为时间。为了使时间成为用长度表示的维，把时间与光速c的乘积ct作为代表第四维的轴。

假定光从A点出发沿直线（按狭义相对论观点）到达B点，所需时间为t，则AB间的直线距离为ct。一般地说，时间轴与x、y、z轴中的任何一个轴都不是互相垂直的，长度ct中含有各个轴的成份，光走过的距离ct相当于以x、y、z为三边的立方体的对角线之长，满足三维勾股定理

（ct）=x+y+z。

也可以写成

-（ct）+x+y+z=0。

如果将相对论的时间记述为三维空间里的一维时间的话，-（ct）与x、y、z之和总应该为零。请注意：在数学处理上必须不带任何区别地看待时间与空间。四维几何学很难用我们的常识去理解，在四维几何学里从一开始就把ct作为一个独立的坐标，而不是光传播于x、y、z三维空间里……。四维空间中的距离并不一定为零，而是一个定数，四个维的平方之和表示四维超立方体对角线的平方（称为扩张的勾股定理），即，在四维几何学中，时间与空间之间存在下述关系：

-（ct）+x+y+z=（常数）=S

S是个定值，与光从A到B的过程有关。

这个公式是四维时空间里的物理学公式。在原来的勾股定理中，各边的平方均为正值，只有与时空间有关的时间项的平方为负值，也就是把-（ct）看作是加上一个负的项。

奇点的消除

以上述知识为基础，让我们看一看对应于宇宙创生的（被认为是奇点的）北极点。（纵向的）经度线长表示时间，（横向的）纬度线长表示空间（在模型上，空间只有一维——圆圈）。球面上近距离两点（时空）间的距离的平方等于纬度线方向上距离的平方与经度线方向上距离的平方之和。纬度对应于空间，为正值；经度对应于时间，为负值。

但是，把这个规律应用到北极点上就会遇到困难，因为从北极点引出的线都是经度线，如图所示在那里距离的平方只有负数值，所以必须特殊地对待北极点——不得不把它看作奇点。这个模型叫做弗里德曼宇宙的时空。

为了回避奇点，霍金等人使用了德西特的时空模型。在弗里德曼模型里，北极点象尖屋顶一般地突起，而德西特模型则圆滑地象个皮球，北极点与其它点一样，看上去没有任何不同。

在北极点附近，即宇宙的初期（或宇宙还很微小的时期——因为在霍金的理论中并没有规定宇宙的起点）时间为虚数it，于是时间项的平方

-（ict）2=（ct）2就成了正值，因而在北极点及其附近的任何位置，时间及空间的平方都是正值，没有任何特别的点。