定理定义
如果函数在闭区间上连续,在上不变号,并且在闭区间上是可积的,则在上至少存在一个点,使下式成立:
定理证明
由于在上不变号,不妨设。并且由在上的连续性可知,在上存在最大值和最小值,使得,将不等式两边同时乘以,得到:
,
,对上式在上取积分得
若,上式等号成立,,定理显然成立。
若,不等式两边同除以,有
由介值定理,存在ε∈[a,b],使得,即。定理得证。
应用实例
求极限。
解:取为,,,则,,并有
由于有界,因此
即原式的极限为0。
如果函数在闭区间上连续,在上不变号,并且在闭区间上是可积的,则在上至少存在一个点,使下式成立:
由于在上不变号,不妨设。并且由在上的连续性可知,在上存在最大值和最小值,使得,将不等式两边同时乘以,得到:
,
,对上式在上取积分得
若,上式等号成立,,定理显然成立。
若,不等式两边同除以,有
由介值定理,存在ε∈[a,b],使得,即。定理得证。
求极限。
解:取为,,,则,,并有
由于有界,因此
即原式的极限为0。