概述
一个n次不可约多项式，如果只能整除1+Z^2^n-1
而不能整除其它1-Z^L(L<2^n-1)，则这种不可约多项式就称为本原多项式。
本原多项式的另外一种定义：系数取自GF(p)上，以GF(p^m)上的本原域元素为根的最小多项式。
因为本原多项式一定以n=p^m-1级元素为根，p^m≡1(modn)，所以本原多项式的次数必然是m。
对于一个n次多项式，其本原多项式一般有若干个。下面将给出的一个算法，是求解在给定任意n值及一个本原多项式的情况下，其余本原多项式的求解方法。该算法的意义在于提供了同一n值情况下若干个可选的本原多项式，这样就允许在构造应用系统时有不同的选择方案。
已知一个n级本原多项式，求解其余的本原多项式按以下步骤进行。
(1)首先确定n级本原多项式的个数λ(n)，λ(n)即是n级本原多项式的个数。
(2)求出小于2n－1且与2n－1互素的所有正整数，构成一个集合〔Si〕，并重新排序，使〔Si〕中元素从小到大排列。
(3)排除〔Si〕中不适合的数
排除〔Si〕中形如2j（j为正整数）
排除〔Si〕中所有同宗的数。即从〔Si〕中从后到前搜索，每取一个数即做2K×Si，直到大于2n－1，然后减去2n－1，用差值在〔Si〕中向前搜索，如果有相同的数则将Si排除，否则保留。再取Si－1按同样过程做一遍，直到S0。
排除〔Si〕中有倍数关系的数。即从〔Si〕中从后到前搜索，每取一数即向前查询一遍，最后〔Si〕中剩下的数即为本原抽样数，其个数一定为λ(n)-1。
(4)根据已知的一个n级本原多项式，为其设置初始状态000…01（n个），求出其M序列{Ai}（长度为2n－1）。
(5)依次从Si中取出本原抽样数，每取出一个抽样数Si，即可求出一个本原多项式：以Si对{Ai}进行抽样，就可产生长度为2n－1的另一M序列{Si}，在{Si}中找到形如000…01（n位）的序列段{Mi}，并提取包括{Mi}为前n项的2n长度的序列：
Am+0，Am+1，…，Am+n-1，
0 0 … 1
Am+n，Am+n+1，…Am+2n-1
X X … X
欲确定的Ci可用下列方程组确定；
C1=Am+n
C2=Am+n+1+C1Am+n
C3=Am+n+2+C1Am+n+1+C2Am+n
常用本原多项式
下表为常用本原多项式：
Matlab中调用本原多项式的指令：
primpoly(m)；
primpoly(m，'all')；
primpoly(m，'all'，'nodisplay')；
注意返回值是按照十进制表示的。
含义
在不同的分支数学，本原多项式有不同的含义：
域论中，一个本原多项式是有限域CF（pm）有限扩张的本原元的最小多项式（域论）。
在代数（特别是环理论），如果一个整系数多项式的所有系数是互数的，则称它是一个本原多项式，本原多项式对判定不可约多项式有很大的帮助，高次多项式的不可约多项式判定一直是个未完全解决的问题。
有限域的不可约多项式都是本原多项式，这点对通讯编码和密码学有重要作用，每个有理系数多项式都能写成一个有理数与一个本原多项式的乘积。高斯引理（环的）两个本原多项式的乘积r仍是本原多项式。
